Para quais valores de a, os operadores T(x, y)=(x+y, a y) e T(x, y)=(x+a y, y) são diagonalizáveis?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos descobrir para quais valores de os operadores lineares e são diagonalizáveis. Diagonalizar um operador significa encontrar uma base onde a matriz que representa esse operador é uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar analisar as matrizes desses operadores, encontrar seus autovalores e verificar se há autovetores suficientes para diagonalizar.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o operador A = 1 & 1 0 & a . Podemos representá-lo como uma matriz:
det 1 - lambda & 1 0 & a - lambda = (1 - lambda)(a - lambda) = 0
Para saber se essa matriz é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores dela. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica :
Os autovalores são então e .

Passo 3

Para que a matriz A = 1 & 1 0 & 1 seja diagonalizável, os autovalores devem ser distintos ou, se iguais, a multiplicidade geométrica (número de autovetores) deve ser igual à multiplicidade algébrica.
  • Caso 1: Se 0 & 1 0 & 0 x y = 0 0 , temos dois autovalores distintos ( e ). Nesse caso, a matriz é diagonalizável porque há autovetores suficientes.
  • Caso 2: Se , os dois autovalores coincidem ( ). Precisamos verificar se há dois autovetores distintos. Substituindo na matriz :
Resolvendo :
Isso resulta na equação , indicando que todos os autovetores são da forma . Então, só temos um autovetor, e a matriz não é diagonalizável nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos analisar o operador B = 1 & a 0 & 1 . Sua matriz representativa é:
det 1 - lambda & a 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 = 0
Novamente, encontramos os autovalores resolvendo :
O único autovalor é , com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para a matriz (B - I)v = 0 & a 0 & 0 x y = 0 0 ser diagonalizável, precisamos que a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica. Vamos verificar os autovetores para B = 1 & 0 0 & 1 :
Isso nos dá a equação :
  • Se : Então , e os autovetores são da forma . Nesse caso, só temos um autovetor, então a matriz não é diagonalizável.
  • Se : A matriz se torna:
Essa é a matriz identidade, que já é diagonal. Portanto, ela é diagonalizável.

Resposta

O operador é diagonalizável para todo . Já o operador é diagonalizável somente quando .

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