Para quais valores de
, os operadores
e
são diagonalizáveis?
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos descobrir para quais valores de
os operadores lineares
e
são diagonalizáveis. Diagonalizar um operador significa encontrar uma base onde a matriz que representa esse operador é uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar analisar as matrizes desses operadores, encontrar seus autovalores e verificar se há autovetores suficientes para diagonalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o operador
. Podemos representá-lo como uma matriz:
Para saber se essa matriz é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores dela. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica
:
Os autovalores são então
e
.
Passo 3
Para que a matriz
seja diagonalizável, os autovalores devem ser distintos ou, se iguais, a multiplicidade geométrica (número de autovetores) deve ser igual à multiplicidade algébrica.
-
Caso 1: Se
, temos dois autovalores distintos ( e ). Nesse caso, a matriz é diagonalizável porque há autovetores suficientes. -
Caso 2: Se
, os dois autovalores coincidem ( ). Precisamos verificar se há dois autovetores distintos. Substituindo na matriz :
Resolvendo
:
Isso resulta na equação
, indicando que todos os autovetores são da forma
. Então, só temos um autovetor, e a matriz
não é diagonalizável nesse caso.
Passo 4
Agora, vamos analisar o operador
. Sua matriz representativa é:
Novamente, encontramos os autovalores resolvendo
:
O único autovalor é
, com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Para a matriz
ser diagonalizável, precisamos que a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica. Vamos verificar os autovetores para
:
Isso nos dá a equação
:
-
Se
: Então , e os autovetores são da forma . Nesse caso, só temos um autovetor, então a matriz não é diagonalizável. -
Se
: A matriz se torna:
Essa é a matriz identidade, que já é diagonal. Portanto, ela é diagonalizável.
Resposta
O operador
é diagonalizável para todo
. Já o operador
é diagonalizável somente quando
.