Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+3 y-3 z, 4 y,-3 x+3 y-z).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo é determinar o polinômio característico desse operador, encontrar seus autovalores e autovetores, e finalmente, fornecer uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de matrizes, autovalores, autovetores e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T(1, 0, 0) = (1 + 0 - 0, 0, -3 + 0 - 0) = (1, 0, -3) como uma matriz. Para isso, aplicamos T(0, 1, 0) = (0 + 3(1) - 0, 4(1), 0 + 3(1) - 0) = (3, 4, 3) aos vetores canônicos da base de T(0, 0, 1) = (0 + 0 - 3(1), 0, 0 + 0 - 1) = (-3, 0, -1) :
A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & -1
Assim, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 3 & -3 0 & 4 - lambda & 0 -3 & 3 & -1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(-1 - lambda) - 0 cdot 3] - 3[0 cdot (-1 - lambda) - 0 cdot (-3)] + (-3)[0 cdot 3 - (4 - lambda)(-3)] , onde = (1 - lambda)(4 - lambda)(-1 - lambda) + 0 + (-3)0 - (-3)(4 - lambda) é um escalar e = (1 - lambda)(-4 -4lambda + lambda + lambda^2) + 9(4 - lambda) é a matriz identidade.
= (1 - lambda)(lambda^2 - 3lambda - 4) + 36 - 9lambda
Calculando o determinante:
= (lambda^2 - 3lambda - 4) - lambda(lambda^2 - 3lambda - 4) + 36 - 9lambda
Simplificando:
= lambda^2 - 3lambda - 4 - lambda^3 + 3lambda^2 + 4lambda + 36 - 9lambda
= -lambda^3 + 4lambda^2 - 8lambda + 32
p(lambda) = -lambda^3 + 4lambda^2 - 8lambda + 32
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação -lambda^3 + 4lambda^2 - 8lambda + 32 = 0 :
lambda^3 - 4lambda^2 + 8lambda - 32 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
2^3 - 4(2)^2 + 8(2) - 32 = 8 - 16 + 16 - 32 = -24 neq 0
Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando 4^3 - 4(4)^2 + 8(4) - 32 = 64 - 64 + 32 - 32 = 0 :
(lambda - 4)(lambda^2 + 0lambda + 8) = 0
Testando lambda^2 = -8 implies lambda = pm 2raiz2i :
lambda1 = 4, lambda2 = 2raiz2i, lambda3 = -2raiz2i
Então, é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A - 4I = -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -5 :
Resolvemos -3x + 3y - 3z = 0 -3x + 3y - 5z = 0 :
( -3x + 3y - 3z ) - ( -3x + 3y - 5z ) = 0 implies 2z = 0 implies z = 0
Simplificando o sistema:
-3x + 3y = 0 implies x = y
Subtraindo as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, os autovetores são da forma . Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é e a dimensão é 1.
Para e :
Como os autovalores são complexos e o operador atua sobre , não há autovetores reais associados a esses autovalores. Portanto, apenas o autovalor possui autovetores reais neste caso.

Resposta

O polinômio característico do operador é . Seus autovalores são e , . O único autovetor real está associado a e é dado por qualquer múltiplo de . Assim, uma base para o autoespaço correspondente a é e a dimensão desse autoespaço é 1.

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