Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo é determinar o polinômio característico desse operador, encontrar seus autovalores e autovetores, e finalmente, fornecer uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de matrizes, autovalores, autovetores e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, aplicamos aos vetores canônicos da base de :
Assim, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 3 & -3 0 & 4 - lambda & 0 -3 & 3 & -1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(-1 - lambda) - 0 cdot 3] - 3[0 cdot (-1 - lambda) - 0 cdot (-3)] + (-3)[0 cdot 3 - (4 - lambda)(-3)] , onde = (1 - lambda)(4 - lambda)(-1 - lambda) + 0 + (-3)0 - (-3)(4 - lambda) é um escalar e = (1 - lambda)(-4 -4lambda + lambda + lambda^2) + 9(4 - lambda) é a matriz identidade.
Então, os autovetores são da forma . Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é e a dimensão é 1.
Para e :
Como os autovalores são complexos e o operador atua sobre , não há autovetores reais associados a esses autovalores. Portanto, apenas o autovalor possui autovetores reais neste caso.
Resposta
O polinômio característico do operador é . Seus autovalores são e , . O único autovetor real está associado a e é dado por qualquer múltiplo de . Assim, uma base para o autoespaço correspondente a é e a dimensão desse autoespaço é 1.