Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
l5 x-2 y+3 z=16 2 x+3 y-5 z=2 4 x-5 y+6 z=7

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z):
5x - 2y + 3z = 16 2x + 3y - 5z = 2 4x - 5y + 6z = 7
Vamos resolver esse sistema utilizando duas técnicas: a Regra de Cramer e a Matriz Inversa. Para isso, precisamos lembrar que essas técnicas envolvem conceitos de determinantes e matrizes.

Passo 2

Regra de Cramer
A Regra de Cramer utiliza determinantes para encontrar as soluções do sistema. Primeiro, precisamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes, que chamaremos de A = 5 & -2 & 3 2 & 3 & -5 4 & -5 & 6 .
A matriz dos coeficientes é:
De
O determinante De de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
De
Aplicando isso à nossa matriz:
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os determinantes Ax = 16 & -2 & 3 2 & 3 & -5 7 & -5 & 6 , De e De, substituindo a coluna correspondente às incógnitas por coluna dos termos constantes.
Para Ay = 5 & 16 & 3 2 & 2 & -5 4 & 7 & 6 , substituímos a primeira coluna:
De
Calculando De:
Az = 5 & -2 & 16 2 & 3 & 2 4 & -5 & 7
De
Para De, substituímos a segunda coluna:
Calculando :
Para , substituímos a terceira coluna:
Calculando :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as soluções:
x = De
y = De
z = De

Passo 5

Matriz Inversa
Para resolver usando a matriz inversa, precisamos encontrar a matriz inversa de x y z = A^-1 cdot 16 2 7 , que denotaremos por C11 = 3 & -5 -5 & 6 = (3)(6) - (-5)(-5) = 18 - 25 = -7 . A solução será então:
C12 = - 2 & -5 4 & 6 = -(2 cdot 6 - (-5) cdot 4) = -(12 + 20) = -32
Primeiro, calculamos a matriz adjunta de C13 = 2 & 3 4 & -5 = (2)(-5) - (3)(4) = -10 - 12 = -22 e depois dividimos pelo determinante C21 = - -2 & 3 -5 & 6 = -[(-2)(6) - (3)(-5)] = -[-12 + 15] = -3 .
A matriz adjunta C22 = 5 & 3 4 & 6 = (5)(6) - (3)(4) = 30 - 12 = 18 é a transposta da matriz dos cofatores. Calculando os cofatores:
C23 = - 5 & -2 4 & -5 = -[(5)(-5) - (-2)(4)] = -[-25 + 8] = 17
C31 = -2 & 3 3 & -5 = (-2)(-5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1
C32 = - 5 & 3 2 & -5 = -[(5)(-5) - (3)(2)] = -[-25 - 6] = 31
C33 = 5 & -2 2 & 3 = (5)(3) - (-2)(2) = 15 + 4 = 19
Cof(A) = -7 & -32 & -22 -3 & 18 & 17 1 & 31 & 19
adj(A) = -7 & -3 & 1 -32 & 18 & 31 -22 & 17 & 19
A^-1 = 1De
x y z = 1-37 cdot -7 & -3 & 1 -32 & 18 & 31 -22 & 17 & 19 cdot 16 2 7
x = 1-37 cdot [(-7)(16) + (-3)(2) + 1(7)] = 1-37 cdot [-112 -6 +7] = -111-37 = 3
Agora, a matriz dos cofatores é:
y = 1-37 cdot [(-32)(16) + 18(2) + 31(7)] = 1-37 cdot [-512 +36 +217] = -259-37 = 7
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
z = 1-37 cdot [(-22)(16) + 17(2) + 19(7)] = 1-37 cdot [-352 +34 +133] = -185-37 = 5
Agora, a inversa de é:
Multiplicando a inversa pela matriz dos termos constantes:
Calculando cada componente:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = 7, z = 5

Exercícios relacionados

Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+3 y-3 z, 4 y,-3 x+3 y-z).
Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regra de Cramer:
l3 y+2 x-z=1 3 x+2 z=8-5 y 3 z-x=1-2 y
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 6 x^2+3 y^2+2 z^2+24 x-6 y-12 z+39=0
Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
tr(C otimes D), e verifique que é igual a tr(C) cdot tr(D)