Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de segundo grau em três variáveis: , e . Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície essa equação representa e descrevê-la.
Passo 2
Vamos começar organizando a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
Nosso primeiro passo é agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão que é mais fácil de identificar.
Para :
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :
Para :
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :
Para :
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :
Passo 4
Substituindo as expressões completas na equação original:
Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isolamos os termos quadráticos:
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 6:
Passo 6
Agora, observamos a equação na forma padrão:
Essa é a equação de um elipsoide, que é uma superfície que se parece com uma esfera “esticada” em diferentes direções.
Resposta
A equação representa um elipsoide com centro no ponto e eixos semiaxes de comprimentos , e nas direções , e , respectivamente.