Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 6 x^2+3 y^2+2 z^2+24 x-6 y-12 z+39=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de segundo grau em três variáveis: , e . Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície essa equação representa e descrevê-la.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
6x^2 + 3y^2 + 2z^2 + 24x - 6y - 12z + 39 = 0
Nosso primeiro passo é agrupar os termos semelhantes:
6x^2 + 24x + 3y^2 - 6y + 2z^2 - 12z + 39 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão que é mais fácil de identificar.
Para 6x^2 + 24x = 6(x^2 + 4x) :
6(x^2 + 4x + 4 - 4) = 6((x + 2)^2 - 4) = 6(x + 2)^2 - 24
Completa o quadrado adicionando e subtraindo 3y^2 - 6y = 3(y^2 - 2y) :
3(y^2 - 2y + 1 - 1) = 3((y - 1)^2 - 1) = 3(y - 1)^2 - 3
Para 2z^2 - 12z = 2(z^2 - 6z) :
2(z^2 - 6z + 9 - 9) = 2((z - 3)^2 - 9) = 2(z - 3)^2 - 18
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :
Para :
Completa o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 4

Substituindo as expressões completas na equação original:
6(x + 2)^2 - 24 + 3(y - 1)^2 - 3 + 2(z - 3)^2 - 18 + 39 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-24 - 3 - 18 + 39 = -6
Então, a equação fica:
6(x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 + 2(z - 3)^2 - 6 = 0

Passo 5

Isolamos os termos quadráticos:
6(x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 + 2(z - 3)^2 = 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 6:
(x + 2)^21 + (y - 1)^22 + (z - 3)^23 = 1

Passo 6

Agora, observamos a equação na forma padrão:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Essa é a equação de um elipsoide, que é uma superfície que se parece com uma esfera “esticada” em diferentes direções.

Resposta

A equação representa um elipsoide com centro no ponto e eixos semiaxes de comprimentos , e nas direções , e , respectivamente.

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