Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: P2(x) P2(x), T(p(x))=p^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre operadores lineares! A questão pede para determinar o polinômio característico de um operador linear específico, encontrar seus autovalores e autovetores, além de fornecer uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador que estamos analisando é , definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e autovalores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear [T] = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para . Vamos usar a base padrão: .
Aplicando em cada elemento da base:
  • (a derivada de 1 é 0)
  • (a derivada de x é 1)
  • (a derivada de é )
Agora, escrevemos essas imagens em termos da base escolhida:
Assim, a matriz de na base é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de T - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 2 0 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 2 0 & 0 & -lambda . O polinômio característico é dado por det(T - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (-lambda) = -lambda^3 , onde p(lambda) = -lambda^3 é a matriz identidade e é um escalar.
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante dessa matriz:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores de -lambda^3 = 0 implies lambda = 0 . Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Resolvendo :
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 3.

Passo 5

Em seguida, encontramos os autovetores associados ao autovalor [T]v = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = v2 2v3 0 = 0 0 0 . Para isso, resolvemos v2 = 0 2v3 = 0 0 = 0 , ou seja, v1 0 0 .
Temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Daqui, vemos que e . O é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores são da forma , onde é qualquer real.

Passo 6

Agora, vamos traduzir esses autovetores de volta para o espaço v1 0 0 . Lembrando que nossa base era , um vetor corresponde ao polinômio .
Então, todos os autovetores correspondem aos polinômios constantes.

Passo 7

Finalmente, determinamos a base e a dimensão de cada autoespaço. Como o único autovalor é e todos os autovetores são múltiplos de , a base do autoespaço associado a é . A dimensão desse autoespaço é 1.

Resposta

O polinômio característico de é . O único autovalor é com multiplicidade 3. Os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes, ou seja, múltiplos de . Uma base para o autoespaço de é e a dimensão desse autoespaço é 1.

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Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
tr(C otimes D), e verifique que é igual a tr(C) cdot tr(D)
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 6 x^2+3 y^2+2 z^2+24 x-6 y-12 z+39=0
Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regra de Cramer:
lx+2 y=-3 z 2 x+y=-3 z 3 x+z=-y
Seja f o operador linear sobre o R^2 dado por f(x, y)=(x cos theta-y sen theta, x sen theta+y cos theta). Se theta é um múltiplo inteiro de pi, verirfique que os autovalores de f são lambda=-1 e lambda=1.