Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre operadores lineares! A questão pede para determinar o polinômio característico de um operador linear específico, encontrar seus autovalores e autovetores, além de fornecer uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador que estamos analisando é , definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e autovalores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para . Vamos usar a base padrão: .
Aplicando em cada elemento da base:
(a derivada de 1 é 0)
(a derivada de x é 1)
(a derivada de é )
Agora, escrevemos essas imagens em termos da base escolhida:
Assim, a matriz de na base é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de T - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 2 0 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 2 0 & 0 & -lambda . O polinômio característico é dado por det(T - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (-lambda) = -lambda^3 , onde p(lambda) = -lambda^3 é a matriz identidade e é um escalar.
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante dessa matriz:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores de -lambda^3 = 0 implies lambda = 0 . Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Resolvendo :
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 3.
Daqui, vemos que e . O é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores são da forma , onde é qualquer real.
Passo 6
Agora, vamos traduzir esses autovetores de volta para o espaço v1 0 0 . Lembrando que nossa base era , um vetor corresponde ao polinômio .
Então, todos os autovetores correspondem aos polinômios constantes.
Passo 7
Finalmente, determinamos a base e a dimensão de cada autoespaço. Como o único autovalor é e todos os autovetores são múltiplos de , a base do autoespaço associado a é . A dimensão desse autoespaço é 1.
Resposta
O polinômio característico de é . O único autovalor é com multiplicidade 3. Os autovetores correspondentes são todos os polinômios constantes, ou seja, múltiplos de . Uma base para o autoespaço de é e a dimensão desse autoespaço é 1.