Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
, e verifique que é igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a traça (ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal) do produto de Kronecker das matrizes e , e depois verificar se esse valor é igual ao produto das traças de e individualmente. Para isso, vamos precisar entender o que é a traça de uma matriz e o que é o produto de Kronecker.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a traça de uma matriz. A traça de uma matriz quadrada é simplesmente a soma dos elementos que estão na diagonal principal. Por exemplo, para a matriz :
A traça de , denotada por , é:
Vamos fazer o mesmo para a matriz :
A traça de é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto das traças de e :
Esse será um dos valores que vamos comparar depois.
Passo 4
Vamos entender o que é o produto de Kronecker. O produto de Kronecker entre duas matrizes e , denotado por , é uma matriz grande formada multiplicando cada elemento de pela matriz . Como ambas as matrizes são , o produto de Kronecker será uma matriz .
Vamos calcular :
Calculando cada elemento:
Passo 5
Agora, vamos calcular a traça de C otimes D = 0 & 4 & 0 & 12 1 & 3 & 3 & 9 0 & 8 & 0 & 20 2 & 6 & 5 & 15 . Lembrando que a traça é a soma dos elementos da diagonal principal. Para a matriz tr(C otimes D) = 0 + 3 + 0 + 15 = 18 :
Os elementos da diagonal principal são , , e . Assim:
Resposta
A traça do produto de Kronecker é igual a , que é o mesmo que o produto das traças de e , ou seja, .