Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
tr(C otimes D), e verifique que é igual a tr(C) cdot tr(D)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a traça (ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal) do produto de Kronecker das matrizes e , e depois verificar se esse valor é igual ao produto das traças de e individualmente. Para isso, vamos precisar entender o que é a traça de uma matriz e o que é o produto de Kronecker.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a traça de uma matriz. A traça de uma matriz quadrada é simplesmente a soma dos elementos que estão na diagonal principal. Por exemplo, para a matriz C = 1 & 3 2 & 5 :
tr(C) = 1 + 5 = 6
A traça de D = 0 & 4 1 & 3 , denotada por tr(D) = 0 + 3 = 3 , é:
Vamos fazer o mesmo para a matriz :
A traça de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto das traças de tr(C) cdot tr(D) = 6 times 3 = 18 e :
Esse será um dos valores que vamos comparar depois.

Passo 4

Vamos entender o que é o produto de Kronecker. O produto de Kronecker entre duas matrizes C otimes D = 1 times D & 3 times D 2 times D & 5 times D = 1 times 0 & 1 times 4 & 3 times 0 & 3 times 4 1 times 1 & 1 times 3 & 3 times 1 & 3 times 3 2 times 0 & 2 times 4 & 5 times 0 & 5 times 4 2 times 1 & 2 times 3 & 5 times 1 & 5 times 3 e C otimes D = 0 & 4 & 0 & 12 1 & 3 & 3 & 9 0 & 8 & 0 & 20 2 & 6 & 5 & 15 , denotado por , é uma matriz grande formada multiplicando cada elemento de pela matriz . Como ambas as matrizes são , o produto de Kronecker será uma matriz .
Vamos calcular :
Calculando cada elemento:

Passo 5

Agora, vamos calcular a traça de C otimes D = 0 & 4 & 0 & 12 1 & 3 & 3 & 9 0 & 8 & 0 & 20 2 & 6 & 5 & 15 . Lembrando que a traça é a soma dos elementos da diagonal principal. Para a matriz tr(C otimes D) = 0 + 3 + 0 + 15 = 18 :
Os elementos da diagonal principal são , , e . Assim:

Resposta

A traça do produto de Kronecker é igual a , que é o mesmo que o produto das traças de e , ou seja, .

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