Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico do operador linear , seus autovalores e autovetores, além de determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de operadores lineares, determinantes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 como uma matriz. O operador está definido por .
Isso nos dá a seguinte matriz associada a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade de ordem 4 e é um escalar.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 & 0 1 & 1 - lambda & 0 & 0 1 & 1 & 1 - lambda & 0 1 & 1 & 1 & 1 - lambda :

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Observamos que det(A - lambda I) = (1 - lambda)^4 é uma matriz triangular inferior, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
p(lambda) = (1 - lambda)^4
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 6

Agora, encontramos os autovalores resolvendo (1 - lambda)^4 = 0 implies lambda = 1 :
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 4.

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores associados ao autovalor (A - I) = 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 . Para isso, resolvemos o sistema 0x + 0y + 0z + 0t = 0 x = 0 x + y = 0 x + y + z = 0 :
Então, o sistema é:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: v = (0, 0, 0, t) = t 0 0 0 1 .
  2. Da terceira equação: .
  3. Da quarta equação: .
Isso significa que é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, o autovetor geral é:

Passo 9

Assim, todos os autovetores correspondentes a 0 0 0 1 são múltiplos do vetor 0 0 0 1 . Isso significa que a base do autoespaço é:
E a dimensão desse autoespaço é 1.

Resposta

O polinômio característico de 0 0 0 1 é 0 0 0 1 . O único autovalor é com multiplicidade 4. Os autovetores associados são todos os múltiplos de . A base do autoespaço correspondente é e a dimensão desse autoespaço é 1.

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