Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 4 x^2-2 y^2+z^2-24 x-4 y+8 z+42=0

Passo 1

Vamos analisar a equação dada: . O objetivo é identificar e descrever a superfície representada por essa equação. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Precisaremos completar os quadrados para simplificar a equação e reconhecer o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos semelhantes:
4x^2 - 24x - 2y^2 - 4y + z^2 + 8z + 42 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável uma de cada vez. Começamos com 4x^2 - 24x = 4(x^2 - 6x) :
4(x^2 - 6x + 9 - 9) = 4((x - 3)^2 - 9) = 4(x - 3)^2 - 36
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para -2y^2 - 4y = -2(y^2 + 2y) :
-2(y^2 + 2y + 1 - 1) = -2((y + 1)^2 - 1) = -2(y + 1)^2 + 2
Adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para z^2 + 8z :
(z^2 + 8z + 16 - 16) = (z + 4)^2 - 16
Adicionamos e subtraímos :

Passo 6

Substituímos os resultados dos quadrados completados na equação original:
4(x - 3)^2 - 36 - 2(y + 1)^2 + 2 + (z + 4)^2 - 16 + 42 = 0
Simplificamos os termos constantes:
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 - 36 + 2 - 16 + 42 = 0
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 - 18 = 0

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 = 18
Dividimos ambos os lados por 18 para normalizar:
4(x - 3)^218 - 2(y + 1)^218 + (z + 4)^218 = 1
Simplificamos as frações:
(x - 3)^24.5 - (y + 1)^29 + (z + 4)^218 = 1

Passo 8

Observamos a forma da equação , que representa um hiperboloide de duas folhas. No entanto, devido aos sinais, ajustamos a identificação corretamente.

Resposta

A equação representa um hiperboloide de uma folha centrado no ponto .

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