Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Passo 1
Vamos analisar a equação dada:
. O objetivo é identificar e descrever a superfície representada por essa equação. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Precisaremos completar os quadrados para simplificar a equação e reconhecer o tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável uma de cada vez. Começamos com
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Em seguida, completamos o quadrado para
:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para
:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 6
Substituímos os resultados dos quadrados completados na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos ambos os lados por 18 para normalizar:
Simplificamos as frações:
Passo 8
Observamos a forma da equação
, que representa um hiperboloide de duas folhas. No entanto, devido aos sinais, ajustamos a identificação corretamente.
Resposta
A equação representa um hiperboloide de uma folha centrado no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
é LI ou LD.
Sejam
e
a transformação linear dada por
, sendo
uma
matriz fixa sobre o corpo
. Mostre que se
é a Transformação Linear Nula, então
é a
matriz nula
.
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Seja
uma transformação linear. Se existe um vetor
tal que
(vetor nulo de
), podemos concluir então que
(vetor nulo de
)? Justifique se for verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.