Sabendo que |u|=3 e |v|=5, com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine alpha in R de maneira que =0.

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício que quer saber qual valor real alpha faz com que o produto interno lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = 0, dado que a norma de u é 3 e a norma de v é 5. Vamos usar propriedades de produtos internos e normas em espaços euclidianos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir esse produto interno usando a distributividade:
lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = lang<= u, u rang<= - alpha lang<= u, v rang<= + alpha lang<= v, u rang<= - alpha^2 lang<= v, v rang<=

Passo 3

Sabemos que lang<= v, u rang<= é igual a lang<= u, v rang<=, então os termos - alpha lang<= u, v rang<= e + alpha lang<= u, v rang<= se cancelam. Assim, fica:
lang<= u, u rang<= - alpha^2 lang<= v, v rang<= = 0

Passo 4

Lembrando que a norma de um vetor é relacionada ao produto interno por |u| = raizlang<= u, u rang<=, então lang<= u, u rang<= = |u|^2 e lang<= v, v rang<= = |v|^2. Substituindo esses valores:
|u|^2 - alpha^2 |v|^2 = 0

Passo 5

Substituindo as normas dadas no problema:
3^2 - alpha^2 cdot 5^2 = 0 9 - 25 alpha^2 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar alpha:
25 alpha^2 = 9 alpha^2 = 925 alpha = pm 35

Resposta

Os valores de alpha que satisfazem a condição são alpha = dfrac35 e alpha = -dfrac35.

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