Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(a) O conjunto
dos números racionais é um espaço vetorial real.
(a) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente avaliar se a afirmação “O conjunto
dos números racionais é um espaço vetorial real” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se o conjunto dos números racionais satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial real? Basicamente, é um conjunto de elementos (chamados de vetores) onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (números reais), de forma que várias propriedades (axiomas) sejam satisfeitas. Esses axiomas incluem coisas como associatividade, comutatividade da adição, existência de um elemento neutro (vetor zero), e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
dos números racionais com essas operações:
- Adição de Vetores: Se somarmos dois números racionais, o resultado é sempre um número racional. Isso está ok.
- Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos um número racional por um número real qualquer, o resultado nem sempre é racional. Por exemplo, multiplicar
(que está em ) por (um número irracional) resulta em , que não é racional.
Passo 4
Uma das propriedades essenciais de um espaço vetorial é que ele deve ser fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de
, embora seja fechado sob adição, não é fechado sob multiplicação por escalares reais, como acabamos de ver. Isso significa que nem sempre que multiplicamos um número racional por um escalar real, o resultado permanece dentro de
.
Resposta
Falsa. O conjunto dos números racionais
não é um espaço vetorial real porque, ao multiplicar um número racional por um escalar real irracional, o resultado pode não ser racional, violando assim as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores genéricos do
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.
Em que ponto a reta que passa por
e
intersecta o plano
?
Sabendo que
e
, com u e
elementos de um espaço euclidiano, determine
de maneira que
.
Nos Exercícios 10-13, seja
a multiplicação pela matriz
. Encontre
(a) uma base da imagem de
(b) uma base do núcleo de
© o posto e a nulidade de
(d) o posto e a nulidade de
11.
(a) uma base da imagem de
(b) uma base do núcleo de
© o posto e a nulidade de
(d) o posto e a nulidade de
11.