Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(a) O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente avaliar se a afirmação “O conjunto dos números racionais é um espaço vetorial real” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se o conjunto dos números racionais satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial real? Basicamente, é um conjunto de elementos (chamados de vetores) onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (números reais), de forma que várias propriedades (axiomas) sejam satisfeitas. Esses axiomas incluem coisas como associatividade, comutatividade da adição, existência de um elemento neutro (vetor zero), e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dos números racionais com essas operações:
  1. Adição de Vetores: Se somarmos dois números racionais, o resultado é sempre um número racional. Isso está ok.
  2. Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos um número racional por um número real qualquer, o resultado nem sempre é racional. Por exemplo, multiplicar (que está em ) por (um número irracional) resulta em , que não é racional.

Passo 4

Uma das propriedades essenciais de um espaço vetorial é que ele deve ser fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de , embora seja fechado sob adição, não é fechado sob multiplicação por escalares reais, como acabamos de ver. Isso significa que nem sempre que multiplicamos um número racional por um escalar real, o resultado permanece dentro de .

Resposta

Falsa. O conjunto dos números racionais não é um espaço vetorial real porque, ao multiplicar um número racional por um escalar real irracional, o resultado pode não ser racional, violando assim as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

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