Nos exercícios , encontre o domínio e a imagem de cada função.
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício (b) que nos pede para encontrar o domínio e a imagem da função . Esse exercício trabalha com funções matemáticas e nos ajuda a entender dois conceitos importantes: domínio (os valores de entrada que a função aceita) e imagem (os valores de saída que a função pode produzir). Para resolver, vamos precisar analisar as restrições da função e identificar os possíveis valores que e podem assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função consiste em todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Analisando a função , observamos duas partes que impõem restrições:
  1. Raiz Quadrada ( ): A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos. Portanto, temos que:
  2. Denominador ( ): O denominador de uma fração não pode ser zero, pois não é permitido dividir por zero. Então, devemos garantir que:
    Resolvendo essa equação:
    No entanto, a raiz quadrada de um número real não pode ser negativa. Portanto, não existe valor de que faça o denominador zero dentro do domínio que já definimos ( ).
Assim, a única restrição para o domínio é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem consiste em todos os possíveis valores de quando varia no domínio definido ( ).
Vamos analisar os valores de :
  • Quando :
  • À medida que aumenta:
    ã
  • Quando :
Portanto, diminui continuamente de 1 até se aproximar de 0, mas nunca chega a ser exatamente zero.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios , encontre o domínio e a imagem de cada função.
(b)
Utilizando as propriedades da integral definida, responda os itens abaixo:(d) e , ache . (0,5 ponto)
Faça o gráfico das funções nos exercícios 11 e 12 . Os gráficos apresentam simetria? Qual(is)?
(a)
Nos exercícios , encontre o domínio e a imagem de cada função.
(a)