Nos exercícios
, encontre o domínio e a imagem de cada função.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a raiz quadrada e as restrições que ela impõe na função.
Passo 2
Encontrando o Domínio:
Primeiro, vamos descobrir para quais valores de
a função
está definida.
-
Raiz Quadrada: A expressão
só está definida para , porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. -
Denominador Não Nulo: Além disso, como a raiz quadrada está no denominador da fração,
não pode ser igual a zero. Se fosse, teríamos uma divisão por zero, que é indefinida.
Então, combinando essas duas condições:
-
deve ser maior que 0.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.
Passo 3
Encontrando a Imagem:
Agora, vamos descobrir quais valores
pode assumir com
.
-
Comportamento da Função:
- À medida que
se aproxima de 0 (mas sempre positivo), fica muito pequeno, então fica muito grande, tendendo ao infinito. - À medida que
aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua, aproximando-se de 0.
- À medida que
-
Intervalo de Valores:
- A função nunca será zero, porque
nunca alcança 0. - Ela pode ser tão grande quanto quisermos (teoricamente indo ao infinito) e tão próxima de zero quanto quisermos, mas sem nunca tocar zero.
- A função nunca será zero, porque
Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos.
Resposta
- Domínio:
- Imagem: