Nos exercícios , encontre o domínio e a imagem de cada função.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a raiz quadrada e as restrições que ela impõe na função.

Passo 2

Encontrando o Domínio:
Primeiro, vamos descobrir para quais valores de a função está definida.
  1. Raiz Quadrada: A expressão só está definida para , porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
  2. Denominador Não Nulo: Além disso, como a raiz quadrada está no denominador da fração, não pode ser igual a zero. Se fosse, teríamos uma divisão por zero, que é indefinida.
Então, combinando essas duas condições:
  • deve ser maior que 0.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.

Passo 3

Encontrando a Imagem:
Agora, vamos descobrir quais valores pode assumir com .
  1. Comportamento da Função:
    • À medida que se aproxima de 0 (mas sempre positivo), fica muito pequeno, então fica muito grande, tendendo ao infinito.
    • À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua, aproximando-se de 0.
  2. Intervalo de Valores:
    • A função nunca será zero, porque nunca alcança 0.
    • Ela pode ser tão grande quanto quisermos (teoricamente indo ao infinito) e tão próxima de zero quanto quisermos, mas sem nunca tocar zero.
Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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(a)
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(b)
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(b)
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