Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
em relação a cada variável. Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
pode ser vista como o produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Já quenão depende de . -
Derivada de
em relação a :
Para isto, usamos a regra da cadeia. A derivada deem relação a é . Então,
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, temos
, que é o produto de
e
. Aplicaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Novamente, usamos a regra da cadeia.Então,
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Nos exercicios 9 e 10, (a) expresse
e
mo funçöes de
e
usando a Regra da cadeia e tambe
Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura satisfaz a equação
Verifique que a temperatura
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Mostre que