Nos exercícios 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos
e
da nossa equação diferencial:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, porque a derivada de
em relação a
já considerou a parte de
.
Passo 5
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é então
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.