Nos exercícios 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.
(y + cos(x)) dx + (x + sen(y)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos e da nossa equação diferencial:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , porque a derivada de em relação a já considerou a parte de .

Passo 5

Para determinar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Assim:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é então .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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