Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo
ou
que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é verificar se conseguimos encontrar um fator de integração que seja uma função só de
ou só de
, ou seja,
ou
, que transforme essa EDO em uma equação exata. Se der, a gente resolve a EDO usando esse fator.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a EDO que temos:
Podemos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos que
e
. Essa é uma equação linear de primeira ordem, e para resolver, podemos usar o método do fator integrante.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna-a exata. Para equações lineares na forma
, o fator integrante é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
em relação a
. Vamos verificar isso.
Passo 5
De fato, reconhecemos que:
Então, nossa equação fica:
Agora, para resolver a equação, integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
isolando-o na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.
Nos exercícios 9 e 10 verifique que
é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma ẸDO exata e resolva a EDO.
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