Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é verificar se conseguimos encontrar um fator de integração que seja uma função só de ou só de , ou seja, ou , que transforme essa EDO em uma equação exata. Se der, a gente resolve a EDO usando esse fator.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a EDO que temos:
Podemos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos que e . Essa é uma equação linear de primeira ordem, e para resolver, podemos usar o método do fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna-a exata. Para equações lineares na forma , o fator integrante é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de em relação a . Vamos verificar isso.

Passo 5

De fato, reconhecemos que:
Então, nossa equação fica:
Agora, para resolver a equação, integramos ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para isolando-o na equação:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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