Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
11. lim x 2(2 x+4)=8, varepsilon=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que o limite da função quando se aproxima de 2 é 8. A gente precisa encontrar um número para um dado, que no caso é 0,01, de modo que sempre que , então . Para isso, vamos usar a definição de limite com - .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos. Queremos garantir que a diferença entre e o limite 8 seja menor que 0,01 sempre que estiver perto de 2, mas diferente de 2. Matemática falando, isso é quando .

Passo 3

Vamos substituir |2x + 4 - 8| < 0,01 na inequação:
|2x - 4| < 0,01
Simplificando dentro do módulo:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar 2|x - 2| < 0,01 . Primeiro, podemos fatorar o 2:
|x - 2| < 0,012
Dividindo ambos os lados por 2:
|x - 2| < 0,005

Passo 5

Então, para garantir que , precisamos que . Portanto, podemos escolher .

Passo 6

O exercício também pede para darmos dois outros números positivos para que funcionem. Podemos escolher qualquer número menor ou igual a 0,005. Por exemplo:
Esses valores também garantem que sempre que .

Resposta

O número desejado é 0,005. Dois outros valores possíveis para são 0,003 e 0,001.

Exercícios relacionados