Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
11.
.
11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que o limite da função
quando
se aproxima de 2 é 8. A gente precisa encontrar um número
para um
dado, que no caso é 0,01, de modo que sempre que
, então
. Para isso, vamos usar a definição de limite com
-
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos. Queremos garantir que a diferença entre
e o limite 8 seja menor que 0,01 sempre que
estiver perto de 2, mas diferente de 2. Matemática falando, isso é
quando
.
Passo 3
Vamos substituir
na inequação:
Simplificando dentro do módulo:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar
. Primeiro, podemos fatorar o 2:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Então, para garantir que
, precisamos que
. Portanto, podemos escolher
.
Passo 6
O exercício também pede para darmos dois outros números positivos para
que funcionem. Podemos escolher qualquer número menor ou igual a 0,005. Por exemplo:
Esses valores também garantem que
sempre que
.
Resposta
O número
desejado é 0,005. Dois outros valores possíveis para
são 0,003 e 0,001.
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Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
12. .
12.