Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
lim x 1 x^2-1x-1=2, varepsilon=0,75

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que lim x 1 x^2-1x-1=2. Nosso objetivo é encontrar um número de que, para um varepsilon = 0,75, garante que sempre que 0 < |x-1| < de, então |x^2-1x-1 - 2| < 0,75. Basicamente, vamos usar a definição de limite para achar esse de. Para isso, precisamos entender um pouco sobre limites e como manipular inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2-1x-1. Note que x^2-1 é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorada:
x^2-1x-1 = (x-1)(x+1)x-1
Aqui, desde que x neq 1, podemos simplificar cancelando (x-1):
(x-1)(x+1)x-1 = x + 1
Então, f(x) = x + 1. Agora, a expressão |x^2-1x-1 - 2| vira |x + 1 - 2| = |x - 1|.

Passo 3

Agora, queremos que |x - 1| < varepsilon = 0,75. Mas notamos que |x - 1| < de por definição. Como |x^2-1x-1 - 2| = |x - 1|, para garantir que |x - 1| < 0,75, basta escolher de.

Passo 4

Mas, a gente também pode escolher outros valores para de que sejam menores ou iguais a 0,75. Isso garante que a condição |x - 1| < de implica |x - 1| < 0,75. Vamos escolher, por exemplo, de e de. Ambos são positivos e menores que 0,75, então também satisfazem a implicação.

Resposta

Um valor possível é de. Outros exemplos de números positivos que também satisfazem a condição são de e de.

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