Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
28. y = 2 cosh(x/2), x = -2, x = 2 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas usando integração. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções hiperbólicas e como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função hiperbólica cosseno, , é definida como:
Ela tem uma forma de “U” semelhante ao cosseno tradicional, mas está sempre acima do eixo .

Passo 3

Nossa função é . Isso significa que a curva é uma versão escalada da função . O fator multiplicando está esticando a curva verticalmente, e o dentro da função está esticando horizontalmente.

Passo 4

Para encontrar a área entre essas curvas, vamos calcular a integral definida de em relação a desde até . A fórmula geral para a área é:
Onde e são os limites de integração, neste caso, e .

Passo 5

Substituindo nossa função na integral, temos:
Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de é , onde é uma constante.

Passo 6

Aplicando a regra da integral, onde :
Multiplicando pelo 2 que está fora da função:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de a :
Isso significa que vamos avaliar a expressão em e e subtrair os resultados.

Passo 8

Calculando para :
E para :

Passo 9

Agora, subtraindo os dois resultados:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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