Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
28.
e
28.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas usando integração. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções hiperbólicas e como integrá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A função hiperbólica cosseno,
, é definida como:
Ela tem uma forma de “U” semelhante ao cosseno tradicional, mas está sempre acima do eixo
.
Passo 3
Nossa função é
. Isso significa que a curva é uma versão escalada da função
. O fator
multiplicando
está esticando a curva verticalmente, e o
dentro da função está esticando horizontalmente.
Passo 4
Para encontrar a área entre essas curvas, vamos calcular a integral definida de
em relação a
desde
até
. A fórmula geral para a área
é:
Onde
e
são os limites de integração, neste caso,
e
.
Passo 5
Substituindo nossa função na integral, temos:
Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de
é
, onde
é uma constante.
Passo 6
Aplicando a regra da integral, onde
:
Multiplicando pelo 2 que está fora da função:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Isso significa que vamos avaliar a expressão
em
e
e subtrair os resultados.
Passo 8
Calculando para
:
E para
:
Passo 9
Agora, subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
17. , de
até
17.
-
e .
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15.
15.
Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados
11. ; ao redor do eixo dos
11.