Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo
d) .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que . Isso faz parte da álgebra de matrizes, especialmente envolvendo a multiplicação de matrizes e propriedades de expoentes. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que não é.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos multiplicando a matriz por ela mesma, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos expandir usando a associatividade da multiplicação de matrizes. Isso fica .

Passo 4

Para que seja verdadeiro, precisaríamos que , ou seja, que as matrizes e comutem. Porém, nem todas as matrizes comutam nessa operação.

Passo 5

Vamos verificar com um exemplo simples. Considere as matrizes:
e .
Calculando :
.
E :
.
Como , fica claro que .

Resposta

Falso. Por exemplo, com:
e ,
temos .

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