Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo
d) ()(A B)^2=A^2 B^2.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que (A B)^2 = A^2 B^2. Isso faz parte da álgebra de matrizes, especialmente envolvendo a multiplicação de matrizes e propriedades de expoentes. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que não é.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (A B)^2. Isso quer dizer que estamos multiplicando a matriz A B por ela mesma, ou seja, (A B)(A B).

Passo 3

Agora, vamos expandir (A B)(A B) usando a associatividade da multiplicação de matrizes. Isso fica A (B A) B.

Passo 4

Para que (A B)^2 = A^2 B^2 seja verdadeiro, precisaríamos que B A = A B, ou seja, que as matrizes A e B comutem. Porém, nem todas as matrizes comutam nessa operação.

Passo 5

Vamos verificar com um exemplo simples. Considere as matrizes:
A = 0 & 1 0 & 0 e B = 0 & 0 1 & 0 .
Calculando A B:
A B = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0 .
E B A:
B A = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 1 .
Como A B neq B A, fica claro que (A B)^2 neq A^2 B^2.

Resposta

Falso. Por exemplo, com:
A = 0 & 1 0 & 0 e B = 0 & 0 1 & 0 ,
temos (A B)^2 neq A^2 B^2.

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