Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo
d)
.
d)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que
. Isso faz parte da álgebra de matrizes, especialmente envolvendo a multiplicação de matrizes e propriedades de expoentes. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que não é.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que estamos multiplicando a matriz
por ela mesma, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando a associatividade da multiplicação de matrizes. Isso fica
.
Passo 4
Para que
seja verdadeiro, precisaríamos que
, ou seja, que as matrizes
e
comutem. Porém, nem todas as matrizes comutam nessa operação.
Passo 5
Vamos verificar com um exemplo simples. Considere as matrizes:
Calculando
:
E
:
Como
, fica claro que
.
Resposta
Falso. Por exemplo, com:
temos
.