Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo
d) .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que . Isso faz parte da álgebra de matrizes, especialmente envolvendo a multiplicação de matrizes e propriedades de expoentes. Para resolver, precisamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou encontrar um exemplo que mostre que não é.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos multiplicando a matriz por ela mesma, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos expandir usando a associatividade da multiplicação de matrizes. Isso fica .
Passo 4
Para que seja verdadeiro, precisaríamos que , ou seja, que as matrizes e comutem. Porém, nem todas as matrizes comutam nessa operação.
Passo 5
Vamos verificar com um exemplo simples. Considere as matrizes: