Verifique em detalhes que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que
é um espaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos conferir se
satisfaz todos os axiomas que definem um espaço vetorial usando as operações padrão de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a fechamento sob adição. Isso significa que se você pegar dois vetores qualquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em
. Por exemplo, se
e
, então
, que claramente está em
.
Passo 3
Agora, vamos para o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se você multiplicar qualquer vetor em
por um número real (escalar), o resultado também deve estar em
. Tomando um vetor
e um escalar
, temos
, que também pertence a
.
Passo 4
Vamos conferir a associatividade da adição. Isso quer dizer que a soma de três vetores não depende de como você agrupa os vetores. Se tiver
,
e
em
, então
. Faz sentido, porque cada componente é somado de forma associativa.
Passo 5
Vamos verificar a comutatividade da adição. Isso significa que a ordem na qual somamos dois vetores não altera o resultado. Ou seja,
para quaisquer . Claro, já que
e
.
Passo 6
Vamos checar a existência do vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Se somarmos qualquer vetor
com
, temos
, ou seja,
realmente age como elemento neutro.
Passo 7
Vamos verificar a existência dos inversos aditivos. Para qualquer vetor
, existe o vetor
que satisfaz
.
Passo 8
Agora, vamos verificar as propriedades distributivas:
- Distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de vetores:
. Isso funciona porque cada componente é multiplicado pelo escalar individualmente. - Distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de escalares:
. Segue direto da propriedade distributiva da multiplicação real.
Passo 9
Por fim, vamos verificar a associatividade da multiplicação por escalar e a distribuição da identidade:
- Associatividade:
. Multiplicar dois escalares e depois o vetor é o mesmo que multiplicar o vetor por cada escalar em sequência. - Distribuição da identidade:
. O escalar 1 multiplica cada componente do vetor mantendo-o igual.
Resposta
Depois de verificar todos os axiomas, concluímos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
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