Nos exercícios 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolvê-la. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a análise de exatidão. A equação que temos é:
Podemos reescrever essa equação como:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador para deixar tudo no mesmo lado:
Rearranjando para a forma padrão de uma equação diferencial exata :

Passo 3

Agora, identificamos as funções e :

Passo 4

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de ou apenas de .
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 6

O fator integrante pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Note que a expressão ainda depende de , o que não ajuda. Isso indica que um fator integrante que depende apenas de não vai resolver.
Vamos tentar procurar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 7

Usando a fórmula para um fator integrante que depende de :
Substituindo os valores:
Assim,
Mas novamente, a expressão depende de , então um fator integrante que depende apenas de também não resolve diretamente.

Passo 8

Diante disso, parece que a equação não pode ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de ou . Portanto, podemos concluir que a equação dada não é exata e não há um fator integrante simples para torná-la exata.
Assim, para resolver essa equação, precisaríamos de métodos mais avançados ou considerar que talvez a equação esteja escrita de forma diferente para facilitar a resolução.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata e não pode ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Portanto, a resolução dessa equação exigiria métodos adicionais além das equações diferenciais exatas.

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