Nos exercícios 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolvê-la. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar esse conceito passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a análise de exatidão. A equação que temos é:
Podemos reescrever essa equação como:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador para deixar tudo no mesmo lado:
Rearranjando para a forma padrão de uma equação diferencial exata
:
Passo 3
Agora, identificamos as funções
e
:
Passo 4
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 5
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar encontrar um fator integrante
que dependa apenas de
.
Passo 6
O fator integrante
pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Note que a expressão
ainda depende de
, o que não ajuda. Isso indica que um fator integrante que depende apenas de
não vai resolver.
Vamos tentar procurar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 7
Usando a fórmula para um fator integrante que depende de
:
Substituindo os valores:
Assim,
Mas novamente, a expressão depende de
, então um fator integrante que depende apenas de
também não resolve diretamente.
Passo 8
Diante disso, parece que a equação não pode ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de
ou
. Portanto, podemos concluir que a equação dada não é exata e não há um fator integrante simples para torná-la exata.
Assim, para resolver essa equação, precisaríamos de métodos mais avançados ou considerar que talvez a equação esteja escrita de forma diferente para facilitar a resolução.
Resposta
A equação diferencial fornecida não é exata e não pode ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Portanto, a resolução dessa equação exigiria métodos adicionais além das equações diferenciais exatas.
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