Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo lambda = lambda(x) ou lambda = lambda(y) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
(x^2 + y^2 + 2*x) dx + (x^2 + y^2 + 2*y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se dá pra encontrar um fator de integração que depende só de ou só de para transformar a equação diferencial dada em uma equação exata. A equação que temos é:
Vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação da forma é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator de integração. Vamos tentar com .
Para , a condição para tornar a equação exata é:
Substituindo os valores:
Isso parece complicado para depender só de , então vamos tentar com .

Passo 4

Assumindo , a condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Também não parece simples, então vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar .

Passo 5

Outra maneira é assumir que o fator de integração pode ser escrito como ou , mas parece que nenhuma das opções simplifica bastante a equação. Portanto, vamos tentar encontrar uma que dependa apenas de ou apenas de que funcione.
Vamos multiplicar a equação original por :
Para que seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando:
Parece complicado resolver para , então vamos tentar com .

Passo 6

Multiplicando a equação original por :
Para que seja exata:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando:
Ainda complicado, mas vamos tentar isolar :
Parece que não vai dar uma solução simples para . Portanto, a conclusão é que não é possível encontrar um fator de integração de apenas ou apenas para essa equação.

Resposta

Não é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que torne a equação diferencial dada exata.

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