Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo
ou
que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se dá pra encontrar um fator de integração que depende só de
ou só de
para transformar a equação diferencial dada em uma equação exata. A equação que temos é:
Vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator de integração. Vamos tentar com
.
Para
, a condição para tornar a equação exata é:
Substituindo os valores:
Isso parece complicado para
depender só de
, então vamos tentar com
.
Passo 4
Assumindo
, a condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Também não parece simples, então vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar
.
Passo 5
Outra maneira é assumir que o fator de integração pode ser escrito como
ou
, mas parece que nenhuma das opções simplifica bastante a equação. Portanto, vamos tentar encontrar uma
que dependa apenas de
ou apenas de
que funcione.
Vamos multiplicar a equação original por
:
Para que seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando:
Parece complicado resolver para
, então vamos tentar com
.
Passo 6
Multiplicando a equação original por
:
Para que seja exata:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando:
Ainda complicado, mas vamos tentar isolar
:
Parece que não vai dar uma solução simples para
. Portanto, a conclusão é que não é possível encontrar um fator de integração de apenas
ou apenas
para essa equação.
Resposta
Não é possível encontrar um fator de integração do tipo
ou
que torne a equação diferencial dada exata.
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E. Teorema de Descartes
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