Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n para y = -2 cos(x/2) ; n = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas até a quinta ordem ( ) da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que é uma ferramenta matemática para descobrir como uma função muda à medida que sua variável muda. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, vamos derivar a função várias vezes.
Vamos começar calculando a primeira derivada.

Passo 3

Primeira Derivada ( ):
Usamos a regra da cadeia para derivar .
A derivada de em relação a é .
Aqui, , então .
Então,

Passo 4

Segunda Derivada ( ):
Agora, derivamos .
A derivada de é .
Então,

Passo 5

Terceira Derivada ( ):
Derivando :
A derivada de é .
Então,

Passo 6

Quarta Derivada ( ):
Derivando :
A derivada de é .
Então,

Passo 7

Quinta Derivada ( ):
Derivando :
A derivada de é .
Então,

Resposta

As derivadas sucessivas até a quinta ordem da função são:

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