Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas até a quinta ordem (
) da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que é uma ferramenta matemática para descobrir como uma função muda à medida que sua variável muda. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, vamos derivar a função
várias vezes.
Vamos começar calculando a primeira derivada.
Passo 3
Primeira Derivada (
):
Usamos a regra da cadeia para derivar
.
A derivada de
em relação a
é
.
Aqui,
, então
.
Então,
Passo 4
Segunda Derivada (
):
Agora, derivamos
.
A derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Terceira Derivada (
):
Derivando
:
A derivada de
é
.
Então,
Passo 6
Quarta Derivada (
):
Derivando
:
A derivada de
é
.
Então,
Passo 7
Quinta Derivada (
):
Derivando
:
A derivada de
é
.
Então,
Resposta
As derivadas sucessivas até a quinta ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções: