integral0^3 d xx^2-6 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^3 dxx^2-6x+5. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 6x + 5. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5. Então, podemos escrever:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^3 dx(x - 1)(x - 5)
Para integrar isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever 1(x - 1)(x - 5) como Ax - 1 + Bx - 5.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x - 5) para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 5) + B(x - 1)
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação. Se x = 5:
1 = A(5 - 5) + B(5 - 1) Rightarrow 1 = 0 + 4B Rightarrow B = 14
Se x = 1:
1 = A(1 - 5) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = -4A + 0 Rightarrow A = -14

Passo 5

Agora, substituímos A e B na expressão das frações parciais:
1(x - 1)(x - 5) = -14(x - 1) + 14(x - 5)
Então, a integral fica:
integral0^3 ( -14(x - 1) + 14(x - 5) ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
-14 integral0^3 dxx - 1 + 14 integral0^3 dxx - 5
A integral de 1x - a é ln|x - a|, então:
-14 ln|x - 1| + 14 ln|x - 5| |0^3

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
Para x = 3:
-14 ln|3 - 1| + 14 ln|3 - 5| = -14 ln 2 + 14 ln 2 = 0
Para x = 0:
-14 ln|0 - 1| + 14 ln|0 - 5| = -14 ln 1 + 14 ln 5 = 0 + 14 ln 5 = 14 ln 5

Resposta

A integral vale -14 ln 2 + 14 ln 2 = 0.

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