Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função
usando conceitos de derivada. Isso significa que vamos precisar calcular a derivada dessa função para entender onde ela tem máximos e mínimos, além de ver onde está crescendo ou decrescendo. Essas informações vão nos ajudar a desenhar o gráfico de forma mais precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
Dada a função:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Vamos resolver:
Fatorando:
Então,
ou
. Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo.
Passo 5
Vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da primeira derivada
:
-
Para
: - Escolha
:
A função está crescendo. - Escolha
-
Entre
e : - Escolha
:
A função está decrescendo. - Escolha
-
Entre
e : - Escolha
:
A função está crescendo. - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
A função está decrescendo. - Escolha
Passo 6
Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo
, ou seja, quando
:
Então, a função passa pela origem
.
Também podemos observar que, conforme
vai para
, o termo dominante é
, o que significa que
tende a
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função tem máximos locais em
e . - Possui um mínimo local em
, que também é a origem. - Está crescendo de
até , decrescendo até , crescendo novamente até , e finalmente decrescendo para . - A simetria da função em relação ao eixo
(paridade) ajuda a desenhar de forma mais simples.
Resposta
O gráfico da função
possui máximos locais em
, um mínimo local na origem
, e apresenta simetria em relação ao eixo
. A função cresce de
até
, decresce até
, cresce novamente até
e decresce para
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
Resolva as equações e ilustre as soluções na reta real.