Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
  1. f(x) = -x^4 + 4x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função usando conceitos de derivada. Isso significa que vamos precisar calcular a derivada dessa função para entender onde ela tem máximos e mínimos, além de ver onde está crescendo ou decrescendo. Essas informações vão nos ajudar a desenhar o gráfico de forma mais precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
Dada a função:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Vamos resolver:
Fatorando:
Então, ou . Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo.

Passo 5

Vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da primeira derivada :
  1. Para :
    • Escolha :
    A função está crescendo.
  2. Entre e :
    • Escolha :
    A função está decrescendo.
  3. Entre e :
    • Escolha :
    A função está crescendo.
  4. Para :
    • Escolha :
    A função está decrescendo.

Passo 6

Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo , ou seja, quando :
Então, a função passa pela origem .
Também podemos observar que, conforme vai para , o termo dominante é , o que significa que tende a .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função tem máximos locais em e .
  • Possui um mínimo local em , que também é a origem.
  • Está crescendo de até , decrescendo até , crescendo novamente até , e finalmente decrescendo para .
  • A simetria da função em relação ao eixo (paridade) ajuda a desenhar de forma mais simples.

Resposta

O gráfico da função possui máximos locais em , um mínimo local na origem , e apresenta simetria em relação ao eixo . A função cresce de até , decresce até , cresce novamente até e decresce para .

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