Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n para y = ln(2 * x) ; n = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas até a ordem para a função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar saber como derivar logaritmos e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve quando temos uma função composta, tipo onde . A derivada da função ln(u) é multiplicada pela derivada de u.
Então:
A derivada de em relação a x é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada de . Para isso, podemos reescrever 1/x como e aplicar a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Então:

Resposta

As derivadas sucessivas até a ordem para são:

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Determinar os limites quando x tende a 0, +infinito e -infinito das funções:
f(x) = e^(1/x)
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R 640,00 por metro, enquanto, em terra custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável ?
Mostre que os limites abaixo não existem.
$(b) b
Determinar os limites quando x tende a 0, +infinito e -infinito das funções:
f(x) = tg(x)