Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas sucessivas até a ordem
para a função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar saber como derivar logaritmos e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que serve quando temos uma função composta, tipo
onde
. A derivada da função ln(u) é
multiplicada pela derivada de
.
Então:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada de
. Para isso, podemos reescrever
como
e aplicar a regra do poder, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Resposta
As derivadas sucessivas até a ordem
para
são:
Exercícios relacionados
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R 640,00 por metro, enquanto, em terra custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável ?
Mostre que os limites abaixo não existem.
$(b)
$(b)
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções: