Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R 640,00 por metro, enquanto, em terra custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma central de abastecimento de água localizada em uma margem de um rio que tem 500 metros de largura. Do outro lado do rio, há um conjunto habitacional que está 2000 metros a jusante (ou seja, abaixo) da central. Precisamos descobrir qual a maneira mais econômica de instalar a rede de água potável, levando em conta que o custo por metro ao atravessar o rio é de R$ 640,00 e em terra é de R$ 312,00.
Vamos precisar usar conhecimentos de otimização de custos e um pouco de geometria para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta de 500 metros de largura. A central está em uma margem, e o conjunto habitacional está do outro lado, mas 2000 metros abaixo da central.
Vamos supor que vamos construir a tubulação em duas partes:
- Uma parte ao longo da margem do rio (em terra), que chamaremos de
metros. - Uma parte que atravessa o rio diagonalmente, conectando o ponto final da parte em terra ao conjunto habitacional.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o custo total
em função de
.
-
O custo da parte em terra é
multiplicado pela distância : -
A distância da parte que atravessa o rio pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. Se você percorre
metros ao longo da margem e a largura do rio é de 500 metros, a distância de atravessamento será: O custo dessa parte émultiplicado pela distância:
Passo 4
Portanto, o custo total
é a soma dos custos das duas partes:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 5
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar a função em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, derivamos cada termo:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Portanto, a derivada total
é:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Vamos rearranjar a equação:
Passo 7
Vamos chamar
para simplificar a equação:
Passo 8
Lembrando que
:
Resposta
A forma mais econômica de instalar a rede de água potável é percorrer 1428 metros em terra a partir da central e então atravessar o rio.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Comparação com
para mostrar que
é convergente.
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem