Mostre que os limites abaixo não existem.
$(b)
$(b)
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai explorar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
e ver se o limite resulta no mesmo valor em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para limites de funções de duas variáveis, se ao se aproximar de um ponto por caminhos diferentes a gente obtiver limites diferentes, então o limite geral não existe. Ou seja, se a gente encontrar pelo menos dois caminhos que dão valores diferentes para o limite, já podemos concluir que ele não existe.
Passo 3
Vamos escolher o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função, temos:
Agora, ao fazer
, vemos que o limite depende do valor de
. Isso significa que diferentes valores de
vão gerar limites diferentes.
Passo 4
Para confirmar, vamos tentar dois valores específicos de
:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Como encontramos dois caminhos que dão limites diferentes (
e
), concluímos que o limite geral não existe. Isso acontece porque a função não se aproxima do mesmo valor de todas as direções quando
se aproxima de
.
Resposta
O limite
não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em limites distintos.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem para
.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Usando o teorema da divergência, encontre o fluxo através da superficie de um cilindro concéntrico com ela onde
e
: Lado esquerdo do teorema da divergência. (2 pts)