Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece a lei de Newton do Resfriamento de corpos. Se o café está a uma temperatura de
logo depois de coado e um minuto depois a temperatura diminui para
em uma cozinha que se encontra a uma temperatura de
, determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de
.
Passo 1
Neste exercício, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton para descobrir quanto tempo uma xícara de café levará para esfriar de
para
em uma cozinha cuja temperatura ambiente é
. Para isso, precisaremos da fórmula da Lei de Resfriamento e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura ambiente, -
é a temperatura inicial do objeto, -
é a constante de resfriamento, -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que:
- A temperatura inicial do café,
, é , - A temperatura ambiente,
, é , - Após 1 minuto (
), a temperatura do café cai para .
Vamos usar esses dados para encontrar a constante
.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar e resolver para
:
Calculando o valor de
:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, queremos encontrar o tempo
para que a temperatura do café atinja
. Usamos novamente a fórmula da Lei de Resfriamento:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Calculando o valor de
:
Resposta
O café levará aproximadamente 16 minutos para chegar a uma temperatura de
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
10. .
10.
Resolva a EDO homogênea
, fazendo a mudança de variáveis
.
Um tanque contém originalmente 200 litros de água pura. Uma solução de
de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 12 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 12 minutos.
Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
9. .
9.