Um tanque contém originalmente 200 litros de água pura. Uma solução de de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 12 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 12 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um tanque com 200 litros de água pura. Nesse tanque, entra uma solução de sal com concentração de numa vazão de 2 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura que sai também é na mesma vazão. Depois de 12 minutos, paramos de adicionar a solução salgada e passamos a adicionar apenas água pura, mantendo a vazão de 2 litros por minuto de entrada e saída. Nosso objetivo é descobrir quanto de sal resta no tanque após mais 12 minutos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e vazão, que geralmente envolvem equações diferenciais para modelar a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os primeiros 12 minutos, quando adicionamos a solução salgada. Vamos chamar de a quantidade de sal no tanque no tempo .
A taxa de entrada de sal é a concentração da solução que entra multiplicada pela vazão de entrada:
A taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque no momento , que é , multiplicada pela vazão de saída:
í
A equação diferencial que descreve a variação de sal no tanque é:
í

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos:
Essa é uma equação diferencial linear. O fator integrante é:
Multiplicando a equação diferencial por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados de 0 a :
Considerando que inicialmente não há sal no tanque ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de sal após os primeiros 12 minutos:
Então, após 12 minutos, temos aproximadamente 11,3 kg de sal no tanque.

Passo 5

Depois desses 12 minutos, paramos de adicionar a solução salgada e começamos a adicionar apenas água pura. A vazão de entrada continua sendo 2 litros por minuto, mas agora sem sal. A taxa de saída de sal agora é:
í
A nova equação diferencial é:

Passo 6

Vamos resolver essa equação diferencial para os próximos 12 minutos, começando com :
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Após 12 minutos:

Resposta

Após mais 12 minutos, a quantidade de sal no tanque é aproximadamente 10,02 kg.

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