Nos exercícios de (9) a (12) encontre a derivada total
pelos dois métodos: (a) Use a Regra da Cadeia; (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (9)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a derivada total de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar dois métodos: (a) a Regra da Cadeia e (b) substituindo
e
antes de diferenciar.
Passo 2
Método (a): Usando a Regra da Cadeia
A Regra da Cadeia é uma técnica que usamos para derivar funções compostas, ou seja, funções onde uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de mais uma. No nosso caso,
depende de
e
, que dependem de
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total
é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 8
Método (b): Substituindo
e
antes de Diferenciar
Agora vamos resolver o mesmo problema, mas substituindo
e
na função
antes de calcular a derivada.
Passo 9
Substituímos
e
na expressão de
:
Passo 10
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 11
Derivando cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 12
Somando os dois resultados:
Perceba que o resultado é o mesmo obtido pelo Método (a) usando a Regra da Cadeia.
Resposta
Portanto, a derivada total
é:
Exercícios relacionados
(2)
. Encontrar:
e
.
Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se
, então:
Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
(a) .
(a)
Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
e
.