Nos exercícios de (9) a (12) encontre a derivada total du/dt pelos dois métodos: (a) Use a Regra da Cadeia; (b) Faça a substituição de x e y antes de diferenciar. (9) u = y * e^(x) + x * e^(y) ; x = cos(t), y = sen(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a derivada total de em relação a , ou seja, . A função dada é , onde e . Para resolver isso, vamos usar dois métodos: (a) a Regra da Cadeia e (b) substituindo e antes de diferenciar.

Passo 2

Método (a): Usando a Regra da Cadeia
A Regra da Cadeia é uma técnica que usamos para derivar funções compostas, ou seja, funções onde uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de mais uma. No nosso caso, depende de e , que dependem de .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, precisamos das derivadas de e em relação a :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 8

Método (b): Substituindo e antes de Diferenciar
Agora vamos resolver o mesmo problema, mas substituindo e na função antes de calcular a derivada.

Passo 9

Substituímos e na expressão de :

Passo 10

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 11

Derivando cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 12

Somando os dois resultados:
Perceba que o resultado é o mesmo obtido pelo Método (a) usando a Regra da Cadeia.

Resposta

Portanto, a derivada total é:

Exercícios relacionados