Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais, que servem para entender como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita, já que
aparece dos dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Para isso, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia, já que
depende de
.
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Agora, vamos isolar
.
Passo 6
Rearranjando a equação para resolver
:
Factorizando
:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivamos ambos os lados da equação original em relação a
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 9
Derivando cada parte:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 10
Substituindo de volta na equação:
Passo 11
Rearranjando para isolar
:
Factorizando
:
Passo 12
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e