Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas:
(a) z=e^y / z cdot ln (x^2y) ; partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais de z = e^yz cdot ln(x^2y) em relação a e . A função que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais, que servem para entender como uma função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita, já que aparece dos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( e^yz cdot ln(x^2y) ) em relação a , ou seja, .
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Para isso, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial x = e^yz cdot partialpartial x ( ln(x^2y) ) + ln(x^2y) cdot partialpartial x ( e^yz )
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos partialpartial x ( ln(x^2y) ) = 1x^2y cdot 2xy = 2xx^2 = 2x em relação a partialpartial x ( e^yz ) = e^yz cdot ( -yz^2 cdot partial zpartial x ) :
Em seguida, derivamos em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia, já que depende de .

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
partial zpartial x = e^yz cdot 2x + ln(x^2y) cdot ( -yz^2 cdot e^yz cdot partial zpartial x )
Agora, vamos isolar .

Passo 6

Rearranjando a equação para resolver partial zpartial x + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz cdot partial zpartial x = e^yz cdot 2x :
partial zpartial x ( 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz ) = e^yz cdot 2x
Factorizando :

Passo 7

Isolando partial zpartial x = e^yz cdot 2x1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz :

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y ( e^yz cdot ln(x^2y) ) em relação a partial zpartial y = e^yz cdot partialpartial y ( ln(x^2y) ) + ln(x^2y) cdot partialpartial y ( e^yz ) , ou seja, .
Derivamos ambos os lados da equação original em relação a :
Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 9

Derivando cada parte:
Primeiro, partialpartial y ( ln(x^2y) ) = 1x^2y cdot ( -x^2y^2 ) = -1y :
partialpartial y ( e^yz ) = e^yz cdot ( 1z - yz^2 cdot partial zpartial y )
Segundo, :

Passo 10

Substituindo de volta na equação:
partial zpartial y = e^yz cdot ( -1y ) + ln(x^2y) cdot ( 1z cdot e^yz - yz^2 cdot e^yz cdot partial zpartial y )

Passo 11

Rearranjando para isolar partial zpartial y + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz cdot partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y) cdot e^yzz :
partial zpartial y ( 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz ) = -e^yzy + ln(x^2y) cdot e^yzz
Factorizando :

Passo 12

Isolando partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y) cdot e^yzz 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2 e^yz / x1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz
e
partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y) cdot e^yzz 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 cdot e^yz

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