Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se , então:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dada a função , a expressão é igual a . Isso está dentro do tema de cálculo diferencial, especificamente usando derivadas parciais e a regra do quociente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a derivada parcial de uma função que é uma fração, ou seja, . Para isso, usamos a Regra do Quociente para derivadas parciais. A regra diz que:
E de forma similar para .
Vamos aplicar isso para nossa função .

Passo 3

Vamos identificar e . Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Primeiro, calculemos e :
Agora, para e :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar e :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por e por :

Passo 6

Agora, vamos somar essas duas expressões:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador da fração:
Observamos que alguns termos vão se cancelar ou combinar de forma que a expressão simplifique.

Passo 8

Depois de simplificar todo o numerador, chegamos a:
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: .
Encontre o domínio da função.
(f)
(2) . Encontrar: e .
Nos exercícios de (9) a (12) encontre a derivada total pelos dois métodos: (a) Use a Regra da Cadeia; (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (9) .