Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se
, então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dada a função
, a expressão
é igual a
. Isso está dentro do tema de cálculo diferencial, especificamente usando derivadas parciais e a regra do quociente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a derivada parcial de uma função que é uma fração, ou seja,
. Para isso, usamos a Regra do Quociente para derivadas parciais. A regra diz que:
E de forma similar para
.
Vamos aplicar isso para nossa função
.
Passo 3
Vamos identificar
e
. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro, calculemos
e
:
Agora, para
e
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar
e
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
e
por
:
Passo 6
Agora, vamos somar essas duas expressões:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador da fração:
Observamos que alguns termos vão se cancelar ou combinar de forma que a expressão simplifique.
Passo 8
Depois de simplificar todo o numerador, chegamos a:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
.
Encontre o domínio da função.
(f)
(f)
(2)
. Encontrar:
e
.
Nos exercícios de (9) a (12) encontre a derivada total
pelos dois métodos: (a) Use a Regra da Cadeia; (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (9)
.