Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se u=A x^n+B y^nC x^2+D y^2, então: x cdot partial upartial x+y cdot partial upartial y=(n-2) cdot u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dada a função , a expressão é igual a . Isso está dentro do tema de cálculo diferencial, especificamente usando derivadas parciais e a regra do quociente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a derivada parcial de uma função que é uma fração, ou seja, partial upartial x = partial fpartial x cdot g - f cdot partial gpartial xg^2 . Para isso, usamos a Regra do Quociente para derivadas parciais. A regra diz que:
E de forma similar para .
Vamos aplicar isso para nossa função .

Passo 3

Vamos identificar partial fpartial x = A n x^n-1 e partial gpartial x = 2C x . Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial y = B n y^n-1 e partial gpartial y = 2D y em relação a e .
Primeiro, calculemos e :
Agora, para e :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar partial upartial x = A n x^n-1 cdot (C x^2 + D y^2) - (A x^n + B y^n) cdot 2C x(C x^2 + D y^2)^2 e partial upartial y = B n y^n-1 cdot (C x^2 + D y^2) - (A x^n + B y^n) cdot 2D y(C x^2 + D y^2)^2 :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar x cdot partial upartial x = A n x^n cdot (C x^2 + D y^2) - 2C x (A x^n + B y^n)(C x^2 + D y^2)^2 por y cdot partial upartial y = B n y^n cdot (C x^2 + D y^2) - 2D y (A x^n + B y^n)(C x^2 + D y^2)^2 e por :

Passo 6

Agora, vamos somar essas duas expressões:
x cdot partial upartial x + y cdot partial upartial y = A n x^n (C x^2 + D y^2) - 2C x (A x^n + B y^n) + B n y^n (C x^2 + D y^2) - 2D y (A x^n + B y^n)(C x^2 + D y^2)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador da fração:
A n x^n C x^2 + A n x^n D y^2 - 2C A x^n+1 - 2C B x y^n + B n y^n C x^2 + B n y^n D y^2 - 2D A x^n y - 2D B y^n+1
Observamos que alguns termos vão se cancelar ou combinar de forma que a expressão simplifique.

Passo 8

Depois de simplificar todo o numerador, chegamos a:
(n - 2)(A x^n + B y^n)(C x^2 + D y^2)
Então, a expressão fica:
x cdot partial upartial x + y cdot partial upartial y = (n - 2)(A x^n + B y^n)C x^2 + D y^2 = (n - 2) cdot u

Resposta

Portanto, mostramos que .

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