Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas: f(x, y, z)=e^x cdot y cdot z+arctg(3 x yz^2) ; partial fpartial x e partial fpartial z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a e . Para isso, vamos usar regras básicas de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função tem duas partes: e . Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Primeiro, derivamos partialpartial x e^x y z = e^x y z cdot partialpartial x (x y z) = e^x y z cdot y z em relação a . A derivada de em relação a é , onde .
Então,

Passo 4

Agora, derivamos partialpartial x arctan( 3 x yz^2 ) = 11 + ( 3 x yz^2 )^2 cdot 3 yz^2 em relação a . A derivada de é , onde .
Então,

Passo 5

Juntando as duas partes, a derivada parcial de partial fpartial x = e^x y z cdot y z + 3 y / z^21 + ( 3 x yz^2 )^2 em relação a fica:

Passo 6

Agora vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.

Passo 7

Primeiro, derivamos partialpartial z e^x y z = e^x y z cdot partialpartial z (x y z) = e^x y z cdot x y em relação a . Usando a mesma regra da cadeia:

Passo 8

Agora, derivamos partialpartial z arctan( 3 x yz^2 ) = 11 + ( 3 x yz^2 )^2 cdot ( -6 x yz^3 ) em relação a . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 9

Juntando as duas partes, a derivada parcial de partial fpartial z = e^x y z cdot x y - 6 x y / z^31 + ( 3 x yz^2 )^2 em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = e^x y z cdot y z + 3 y / z^21 + ( 3 x yz^2 )^2 são:
partial fpartial z = e^x y z cdot x y - 6 x y / z^31 + ( 3 x yz^2 )^2

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