(2) u=x^2+y^2 ; x=cos r cdot cos t, y=sen r cdot sen t. Encontrar: partial upartial r e partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A gente está lidando com funções de várias variáveis aqui, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função u = x^2 + y^2 em termos de x = cos r cdot cos t e y = sin r cdot sin t . Sabemos que:
u = (cos r cdot cos t)^2 + (sin r cdot sin t)^2
E também temos:
Vamos substituir e na expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos simplificar essa expressão. Vamos expandir os termos:
u = cos^2 r cdot cos^2 t + sin^2 r cdot sin^2 t
Essa é a forma expressa de em termos de e .

Passo 4

Para encontrar partial upartial r = 2 cos r cdot (-sin r) cdot cos^2 t + 2 sin r cdot cos r cdot sin^2 t , vamos derivar partial upartial r = -2 sin r cos r cos^2 t + 2 sin r cos r sin^2 t em relação a partial upartial r = 2 sin r cos r (sin^2 t - cos^2 t) , mantendo constante:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 5

Para encontrar partial upartial t = 2 cos^2 r cdot (-sin t) cos t + 2 sin^2 r cdot cos t sin t , vamos derivar partial upartial t = -2 cos^2 r sin t cos t + 2 sin^2 r sin t cos t em relação a partial upartial t = 2 sin t cos t (sin^2 r - cos^2 r) , mantendo constante:
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = 2 sin r cos r (sin^2 t - cos^2 t)
e
partial upartial t = 2 sin t cos t (sin^2 r - cos^2 r)

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