Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
f(x) = x^3 - 3 x^2 - 9 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa:
a) Encontrar os extremos relativos usando o teste da primeira derivada;
b) Descobrir os valores de onde esses extremos acontecem;
c) Ver onde a função está crescendo;
d) Ver onde a função está decrescendo;
e) Fazer um esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar onde a função muda de comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
Calculando termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todos os . Vamos igualar a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão -2. Esses números são -3 e +1.
Então:
Assim, as soluções são:

Passo 5

Agora que encontramos os pontos críticos em e , vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou nenhum dos dois.
Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.

Passo 6

Vamos escolher valores de em torno de -1 e 3 e verificar o sinal de :
  1. Para :
    • Escolha :
    (positivo)
  2. Entre e :
    • Escolha :
    (negativo)
  3. Para :
    • Escolha :
    (positivo)

Passo 7

Analisando os sinais:
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um ponto de máximo relativo.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva. Isso indica um ponto de mínimo relativo.

Passo 8

Agora, vamos resumir os resultados:
  • Extremos Relativos:
    • Máximo relativo em
    • Mínimo relativo em
  • Intervalos de Crescimento:
    • e
  • Intervalos de Decrescimento:

Resposta

a) Os extremos relativos de são um máximo em e um mínimo em .
b) Os valores de onde os extremos ocorrem são (máximo) e (mínimo).
c) A função é crescente nos intervalos e .
d) A função é decrescente no intervalo .
e) O esboço do gráfico apresenta um máximo relativo em , um mínimo relativo em , aumentando nas extremidades e decrescendo entre esses pontos.

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