Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais
é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa:
a) Encontrar os extremos relativos usando o teste da primeira derivada;
b) Descobrir os valores de onde esses extremos acontecem;
c) Ver onde a função está crescendo;
d) Ver onde a função está decrescendo;
e) Fazer um esboço do gráfico.
b) Descobrir os valores de
c) Ver onde a função está crescendo;
d) Ver onde a função está decrescendo;
e) Fazer um esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar onde a função muda de comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
Calculando termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todos os
. Vamos igualar a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão -2. Esses números são -3 e +1.
Então:
Assim, as soluções são:
Passo 5
Agora que encontramos os pontos críticos em
e
, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou nenhum dos dois.
Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Passo 6
Vamos escolher valores de
em torno de -1 e 3 e verificar o sinal de
:
-
Para
: - Escolha
:
(positivo) - Escolha
-
Entre
e : - Escolha
:
(negativo) - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
(positivo) - Escolha
Passo 7
Analisando os sinais:
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um ponto de máximo relativo.
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva. Isso indica um ponto de mínimo relativo.
Passo 8
Agora, vamos resumir os resultados:
-
Extremos Relativos:
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
- Máximo relativo em
-
Intervalos de Crescimento:
-
e
-
-
Intervalos de Decrescimento:
-
Resposta
a) Os extremos relativos de
são um máximo em
e um mínimo em
.
b) Os valores de onde os extremos ocorrem são
(máximo) e
(mínimo).
c) A função é crescente nos intervalos
e
.
d) A função é decrescente no intervalo
.
e) O esboço do gráfico apresenta um máximo relativo em , um mínimo relativo em
, aumentando nas extremidades e decrescendo entre esses pontos.
b) Os valores de
c) A função
d) A função
e) O esboço do gráfico apresenta um máximo relativo em