Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
14.
14.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse tipo de integral envolve frações racionais, e vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar e resolver. Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
como a soma de duas frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A integral
é igual a: