Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
14. integral 5 x-13(x-2)(x-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral envolve frações racionais, e vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar e resolver. Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar 5x - 13(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 como a soma de duas frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de 5x - 13 = A(x - 3) + B(x - 2) e 5x - 13 = A x - 3A + B x - 2B . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 5x - 13 = (A + B)x - (3A + 2B) :
A + B = 5
Expandindo os termos:
-3A - 2B = -13
Agrupando os termos semelhantes:
A + B = 5 -3A - 2B = -13
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para os termos com 2A + 2B = 10 :
2A + 2B - 3A - 2B = 10 - 13
  1. Para os termos constantes:
- A = -3 implies A = 3
Temos um sistema de equações:
3 + B = 5 implies B = 2
Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 4

Agora que temos 5x - 13(x - 2)(x - 3) = 3x - 2 + 2x - 3 e integral 3x - 2 , dx + integral 2x - 3 , dx , podemos reescrever a fração original:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
3 ln|x - 2| + 2 ln|x - 3| + C
Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A integral 3 ln|x - 2| + 2 ln|x - 3| + C é igual a:

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