Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
15. integral 3 x-2x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é importante porque a técnica de frações parciais funciona melhor quando o denominador está fatorado.
Sabemos que é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 3x - 2(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como a soma de duas frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar Ax - 2 + Bx + 2 = A(x + 2) + B(x - 2)(x - 2)(x + 2) e 3x - 2 = A(x + 2) + B(x - 2) , vamos combinar as frações do lado direito:
Igualando os numeradores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 3(2) - 2 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 6 - 2 = 4A + 0 Rightarrow 4 = 4A Rightarrow A = 1 e 3(-2) - 2 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) Rightarrow -6 - 2 = 0 + (-4)B Rightarrow -8 = -4B Rightarrow B = 2 . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Agora que temos 3x - 2x^2 - 4 = 1x - 2 + 2x + 2 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 3x - 2x^2 - 4 , dx = integral 1x - 2 , dx + integral 2x + 2 , dx
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra de integração:
integral 1x - 2 , dx = ln|x - 2|
integral 2x + 2 , dx = 2 ln|x + 2|

Resposta

Portanto, a integral é:
integral 3x - 2x^2 - 4 , dx = ln|x - 2| + 2 ln|x + 2| + C

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