Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é um círculo com raio 1 centrado em
. Esse tipo de problema está relacionado com as fórmulas integrais de Cauchy, que são usadas para integrar funções complexas ao redor de contornos fechados. Para resolver, vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas, já que temos um denominador elevado a uma potência.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que está sendo integrada. Temos
e a parte que causa a singularidade é
. Como a singularidade está dentro do contorno
(já que
é centrado em
com raio 1), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas de segunda ordem, já que o denominador está elevado ao cubo (
).
Passo 3
A fórmula de Cauchy para derivadas nos diz que:
Aqui,
e
. Então, precisamos calcular a segunda derivada de
em
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular
, então:
Agora, substituímos
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Cauchy:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i)
, (ii)
(a)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(a)
(a)
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação
Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
14.
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