Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de contorno onde é um círculo com raio 1 centrado em . Esse tipo de problema está relacionado com as fórmulas integrais de Cauchy, que são usadas para integrar funções complexas ao redor de contornos fechados. Para resolver, vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas, já que temos um denominador elevado a uma potência.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que está sendo integrada. Temos e a parte que causa a singularidade é . Como a singularidade está dentro do contorno (já que é centrado em com raio 1), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas de segunda ordem, já que o denominador está elevado ao cubo ( ).

Passo 3

A fórmula de Cauchy para derivadas nos diz que:
Aqui, e . Então, precisamos calcular a segunda derivada de em , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular , então:
Agora, substituímos :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cauchy:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i) , (ii)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(a)
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação
Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
14.