Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b) ointC e^z^2(z-i)^3 d z ;|z-i|=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de contorno onde é um círculo com raio 1 centrado em . Esse tipo de problema está relacionado com as fórmulas integrais de Cauchy, que são usadas para integrar funções complexas ao redor de contornos fechados. Para resolver, vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas, já que temos um denominador elevado a uma potência.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que está sendo integrada. Temos e a parte que causa a singularidade é . Como a singularidade está dentro do contorno (já que é centrado em com raio 1), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas de segunda ordem, já que o denominador está elevado ao cubo ( ).

Passo 3

A fórmula de Cauchy para derivadas nos diz que:
ointC f(z)(z - a)^n dz = 2pi i(n-1)! f^(n-1)(a)
Aqui, e . Então, precisamos calcular a segunda derivada de em , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular f'(z) = 2z e^z^2 , então:
f''(z) = 2 e^z^2 + 4z^2 e^z^2 = 2(1 + 2z^2) e^z^2
f''(i) = 2(1 + 2i^2) e^i^2 = 2(1 + 2(-1)) e^-1 = 2(1 - 2) e^-1 = -2 e^-1
Agora, substituímos :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cauchy:
ointC e^z^2(z - i)^3 dz = 2pi i2! f''(i) = 2pi i2 (-2 e^-1) = -2pi i e^-1

Resposta

A integral é igual a .

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