Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
16. integral 9 x-5-x^2(x-1)^2(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral da função racional 9x - 5 - x^2(x - 1)^2(x + 2) em relação a x. Isso envolve integração de funções racionais usando frações parciais. Pra resolver isso, vamos decompôr a função em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Precisamos conhecer a técnica de frações parciais e como aplicar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( -x^2 + 9x -5) é igual ao grau do denominador ( (x - 1)^2(x + 2)), que também é 3. Para facilitar, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração. Mas, antes, vamos reescrever o numerador de forma padrão:
- x^2 + 9x - 5
E o denominador:
(x - 1)^2(x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 +
Mas, na verdade, já que os graus são iguais, podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais sem precisar dividir.

Passo 3

Vamos assumir que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
-x^2 + 9x -5(x - 1)^2(x + 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)^2(x + 2) para eliminar as frações:
-x^2 + 9x -5 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito.

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
  1. A(x - 1)(x + 2) = A(x^2 + 2x - x - 2) = A(x^2 + x -2)
  2. B(x + 2) = Bx + 2B
  3. C(x - 1)^2 = C(x^2 - 2x +1)
Então, substituindo de volta:
-x^2 + 9x -5 = A(x^2 + x -2) + Bx + 2B + C(x^2 - 2x +1)

Passo 6

Agora, distribuímos os A e C:
-x^2 + 9x -5 = A x^2 + A x - 2A + Bx + 2B + C x^2 - 2C x + C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
-x^2 + 9x -5 = (A + C) x^2 + (A + B - 2C) x + (-2A + 2B + C)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos lados esquerdo e direito:
  1. Para x^2: A + C = -1
  2. Para x: A + B - 2C = 9
  3. Para o termo constante: -2A + 2B + C = -5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 8

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
A + C = -1 Rightarrow A = -1 - C
Substituímos A na segunda e terceira equações:
  1. (-1 - C) + B - 2C = 9 Rightarrow B - 3C = 10
  2. -2(-1 - C) + 2B + C = -5 Rightarrow 2 + 2C + 2B + C = -5 Rightarrow 2B + 3C = -7
Agora, temos:
  • B - 3C = 10
  • 2B + 3C = -7

Passo 9

Vamos somar as duas equações para eliminar C:
(B - 3C) + (2B + 3C) = 10 + (-7) 3B = 3 B = 1
Agora, substituímos B = 1 na equação B - 3C = 10:
1 - 3C = 10 Rightarrow -3C = 9 Rightarrow C = -3
E, finalmente, A = -1 - C = -1 - (-3) = 2

Passo 10

Agora que encontramos A = 2, B = 1 e C = -3, podemos reescrever a decomposição:
-x^2 + 9x -5(x - 1)^2(x + 2) = 2x - 1 + 1(x - 1)^2 + -3x + 2
Simplificando:
2x - 1 + 1(x - 1)^2 - 3x + 2

Passo 11

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 2x - 1 + 1(x - 1)^2 - 3x + 2 ) dx = 2 integral 1x - 1 dx + integral 1(x - 1)^2 dx - 3 integral 1x + 2 dx

Passo 12

Calculamos cada integral:
  1. 2 integral 1x - 1 dx = 2 ln|x - 1|
  2. integral 1(x - 1)^2 dx = integral (x - 1)^-2 dx = (x - 1)^-1-1 = -1x - 1
  3. -3 integral 1x + 2 dx = -3 ln|x + 2|

Passo 13

Juntando tudo, temos:
2 ln|x - 1| - 1x - 1 - 3 ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 2, ln|x - 1| - dfrac1x - 1 - 3, ln|x + 2| + C, onde C é a constante de integração.

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