Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral da função racional em relação a . Isso envolve integração de funções racionais usando frações parciais. Pra resolver isso, vamos decompôr a função em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Precisamos conhecer a técnica de frações parciais e como aplicar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ), que também é 3. Para facilitar, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração. Mas, antes, vamos reescrever o numerador de forma padrão:
E o denominador:
Mas, na verdade, já que os graus são iguais, podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais sem precisar dividir.

Passo 3

Vamos assumir que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito.

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, distribuímos os e :
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos lados esquerdo e direito:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 8

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Substituímos na segunda e terceira equações:
Agora, temos:

Passo 9

Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na equação :
E, finalmente,

Passo 10

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a decomposição:
Simplificando:

Passo 11

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 12

Calculamos cada integral:

Passo 13

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: