Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
16.
16.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral da função racional
em relação a
. Isso envolve integração de funções racionais usando frações parciais. Pra resolver isso, vamos decompôr a função em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Precisamos conhecer a técnica de frações parciais e como aplicar a decomposição.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
), que também é 3. Para facilitar, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração. Mas, antes, vamos reescrever o numerador de forma padrão:
E o denominador:
Mas, na verdade, já que os graus são iguais, podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais sem precisar dividir.
Passo 3
Vamos assumir que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito.
Passo 5
Vamos expandir cada termo:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, distribuímos os
e
:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos lados esquerdo e direito:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 8
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Substituímos
na segunda e terceira equações:
Agora, temos:
Passo 9
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na equação
:
E, finalmente,
Passo 10
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a decomposição:
Simplificando:
Passo 11
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 12
Calculamos cada integral:
Passo 13
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
15.
15.
Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
17.
17.
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: