Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo
e precisamos provar, usando os axiomas desse corpo, que
para todo elemento
. Vamos precisar dos axiomas de adição, especialmente os que envolvem o elemento neutro e os inversos aditivos.
Passo 2
Lembrando dos axiomas dos corpos, sabemos que para todo elemento
existe um elemento inverso aditivo, que é
, tal que:
Aqui,
é o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o inverso aditivo de
, que é
. Pelo mesmo axioma, temos:
Passo 4
Para isolar
, vamos adicionar
em ambos os lados da equação:
Usando a associação da adição:
Passo 5
Sabemos que
(pelo axioma do inverso aditivo). Substituindo na equação:
Passo 6
Como adicionar
não altera o valor, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
utilizando os axiomas do corpo
.
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Seja
um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade do zero) Se é tal que
, então
.
(Unicidade do zero) Se