Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo e precisamos provar, usando os axiomas desse corpo, que para todo elemento . Vamos precisar dos axiomas de adição, especialmente os que envolvem o elemento neutro e os inversos aditivos.

Passo 2

Lembrando dos axiomas dos corpos, sabemos que para todo elemento existe um elemento inverso aditivo, que é , tal que:
Aqui, é o elemento neutro da adição.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o inverso aditivo de , que é . Pelo mesmo axioma, temos:

Passo 4

Para isolar , vamos adicionar em ambos os lados da equação:
Usando a associação da adição:

Passo 5

Sabemos que (pelo axioma do inverso aditivo). Substituindo na equação:

Passo 6

Como adicionar não altera o valor, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que utilizando os axiomas do corpo .

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(Unicidade do zero) Se é tal que , então .