Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar é a transformação de funções racionais em frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais complexas quebrando a função em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
A integral que precisamos resolver é:
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Se não for, fazemos uma divisão polinomial. Aqui, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 4, então podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Vamos expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Para denominadores com fatores quadráticos repetidos, a forma geral é:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equa��ão por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos os termos do lado direito para simplificar e coletar os coeficientes de potências iguais de
:
- Expanda
- Expanda
- Expanda
- Expanda
Depois, juntamos todos os termos e igualamos aos do lado esquerdo.
Passo 6
Outra maneira mais rápida é escolher valores específicos de
que simplificam a equação:
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
e
, podemos escolher outros valores de
ou comparar os coeficientes de
. Vamos comparar os coeficientes:
Expandindo o lado direito:
Somando todos os termos:
Agrupando por potências de
:
-
: -
: -
: - Constante:
Igualando aos coeficientes do lado esquerdo
:
Sabendo que
e
, substituímos:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 8
Agora que temos todos os valores:
A decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 10
Juntando todas as integrais:
Resposta
A integral é igual a:
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Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: