Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
17. integral 3 x^3-5 x^2-3 x+1(x+1)^2(x-1)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar é a transformação de funções racionais em frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais complexas quebrando a função em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:
integral 3 x^3 - 5 x^2 - 3 x + 1(x+1)^2(x-1)^2 , dx
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Se não for, fazemos uma divisão polinomial. Aqui, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 4, então podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Para denominadores com fatores quadráticos repetidos, a forma geral é:
3 x^3 - 5 x^2 - 3 x + 1(x+1)^2(x-1)^2 = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx-1 + D(x-1)^2
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equa��ão por 3 x^3 - 5 x^2 - 3 x + 1 = A(x+1)(x-1)^2 + B(x-1)^2 + C(x-1)(x+1)^2 + D(x+1)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos os termos do lado direito para simplificar e coletar os coeficientes de potências iguais de :
  1. Expanda
  2. Expanda
  3. Expanda
  4. Expanda
Depois, juntamos todos os termos e igualamos aos do lado esquerdo.

Passo 6

Outra maneira mais rápida é escolher valores específicos de 3(1)^3 - 5(1)^2 - 3(1) + 1 = A(2)(0) + B(0) + C(0) + D(4) que simplificam a equação:
  • Para 3 - 5 - 3 + 1 = 4D Rightarrow -4 = 4D Rightarrow D = -1 :
3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 3(-1) + 1 = A(0) + B(4) + C(0) + D(0)
Simplificando:
-3 - 5 + 3 + 1 = 4B Rightarrow -4 = 4B Rightarrow B = -1
  • Para :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar A(x+1)(x-1)^2 = A(x+1)(x^2 - 2x + 1) = A(x^3 - x^2 - x + 1) e C(x-1)(x+1)^2 = C(x-1)(x^2 + 2x + 1) = C(x^3 + x^2 - x -1) , podemos escolher outros valores de A x^3 - A x^2 - A x + A + B(x^2 - 2x +1) + C x^3 + C x^2 - C x - C + D(x^2 + 2x +1) ou comparar os coeficientes de . Vamos comparar os coeficientes:
Expandindo o lado direito:
Somando todos os termos:
Agrupando por potências de :
  • :
  • :
  • :
  • Constante:
Igualando aos coeficientes do lado esquerdo :
Sabendo que e , substituímos:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
  • 3 x^3 - 5 x^2 - 3 x + 1(x+1)^2(x-1)^2 = 3x+1 + -1(x+1)^2 + 0x-1 + -1(x-1)^2
  • 3x+1 - 1(x+1)^2 - 1(x-1)^2
A decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 10

Juntando todas as integrais:
3 ln|x+1| + 1x+1 + 1x-1 + C

Resposta

A integral é igual a:
3 ln|x+1| + 1x+1 + 1x-1 + C

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