Nos exercicios 13. a 21 . calcule as integrais usando transformaçäo de funçöes racionais em fruçies parcinis.
17.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar é a transformação de funções racionais em frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais complexas quebrando a função em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Se não for, fazemos uma divisão polinomial. Aqui, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 4, então podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Para denominadores com fatores quadráticos repetidos, a forma geral é:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equa��ão por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos os termos do lado direito para simplificar e coletar os coeficientes de potências iguais de :
  1. Expanda
  2. Expanda
  3. Expanda
  4. Expanda
Depois, juntamos todos os termos e igualamos aos do lado esquerdo.

Passo 6

Outra maneira mais rápida é escolher valores específicos de que simplificam a equação:
  • Para :
Simplificando:
  • Para :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar e , podemos escolher outros valores de ou comparar os coeficientes de . Vamos comparar os coeficientes:
Expandindo o lado direito:
Somando todos os termos:
Agrupando por potências de :
  • :
  • :
  • :
  • Constante:
Igualando aos coeficientes do lado esquerdo :
Sabendo que e , substituímos:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
A decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 10

Juntando todas as integrais:

Resposta

A integral é igual a:

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16.
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: