Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15. f(theta, phi) = sen(3 theta) cos(2 phi) ; f_phi(theta, phi)

Passo 1

Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrarmos a derivada parcial de em relação a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, onde mantemos uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos derivar em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Como estamos derivando em relação a e é uma constante (porque é mantido constante), podemos tratar como um coeficiente.

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Sabemos que:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a , sendo .

Passo 5

Multiplicando o resultado da derivada de pelo coeficiente , temos:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 1 a 6, aplique a Definição 16.4.1 para encontrar as derivadas parciais indicadas.
  1. f(x, y) = 6 x + 3 y - 7 ; D1 f(x, y)
Seja f(z) = cos(z) definida sobre o retângulo R = [ (3 pi) / 2 , 2 pi ] x [ 0 , 2 ]. Use o Princípio do Módulo do Máximo para determinar o ponto de máximo da função |f(z)| = |cos(z)| (Sugestão: use o exercício acima).
  1. If f(r, theta) = r * tg(theta) - r^2 * sen(theta), ache (a) f1(raiz(2), 1/4 * pi); (b) f2(3, pi).
Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi]. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.