Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15.
15.
Passo 1
Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrarmos a derivada parcial de em relação a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, onde mantemos uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos derivar em relação a
, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Como estamos derivando em relação a
e é uma constante (porque
é mantido constante), podemos tratar como um coeficiente.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Sabemos que:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde derivamos a função externa
em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, sendo
.
Passo 5
Multiplicando o resultado da derivada de
pelo coeficiente , temos:
Simplificando, obtemos:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 1 a 6, aplique a Definição 16.4.1 para encontrar as derivadas parciais indicadas.
Seja
definida sobre o retângulo
. Use o Princípio do Módulo do Máximo para determinar o ponto de máximo da função
(Sugestão: use o exercício acima).
- If
, ache (a) ; (b) .
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.