Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15. f(theta, phi) = sen(3 theta) cos(2 phi) ; f_phi(theta, phi)

Passo 1

Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrarmos a derivada parcial de em relação a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, onde mantemos uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos derivar em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
Como estamos derivando em relação a e é uma constante (porque é mantido constante), podemos tratar como um coeficiente.

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Sabemos que:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a , sendo .

Passo 5

Multiplicando o resultado da derivada de pelo coeficiente , temos:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados