1. If f(r, theta) = r * tg(theta) - r^2 * sen(theta), ache (a) f1(raiz(2), 1/4 * pi); (b) f2(3, pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos duas derivadas parciais da função em pontos específicos. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar essas operações nas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial mostra como a função muda quando apenas uma variável muda, mantendo a outra constante. No nosso caso, será a derivada de em relação a , e será a derivada em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . A função é .
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (porque é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Substituímos e na expressão de :
Primeiro, calculamos e :
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular . A função é .
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Substituímos e na expressão de :
Primeiro, calculamos e :
Substituindo na fórmula:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15. f(theta, phi) = sen(3 theta) cos(2 phi) ; f_phi(theta, phi)
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  1. f(x, y) = 6 x + 3 y - 7 ; D1 f(x, y)
Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi]. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.
Nos Exercícios 27 e 28, ache $f_{x}(x, y)$ e $f_{y}(x, y)$. 28. $f(x, y)=\int_{x}^{y} e^{\cos t} d t$