- If
, ache (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos duas derivadas parciais da função
em pontos específicos. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar essas operações nas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial mostra como a função muda quando apenas uma variável muda, mantendo a outra constante. No nosso caso,
será a derivada de
em relação a
, e
será a derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função é
.
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Substituímos
e
na expressão de
:
Primeiro, calculamos
e
:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. A função é
.
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Substituímos
e
na expressão de
:
Primeiro, calculamos
e
:
Substituindo na fórmula:
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15.
15.
Nos Exercícios de 1 a 6, aplique a Definição 16.4.1 para encontrar as derivadas parciais indicadas.
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.
Nos Exercícios 27 e 28, ache $f_{x}(x, y)$ e $f_{y}(x, y)$.
28. $f(x, y)=\int_{x}^{y} e^{\cos t} d t$