Seja f(z) = cos(z) definida sobre o retângulo R = [ (3 pi) / 2 , 2 pi ] x [ 0 , 2 ]. Use o Princípio do Módulo do Máximo para determinar o ponto de máximo da função |f(z)| = |cos(z)| (Sugestão: use o exercício acima).

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! Temos a função definida no retângulo . Nosso objetivo é encontrar onde o valor absoluto dessa função, ou seja, , atinge o máximo dentro desse retângulo. Para isso, vamos usar o Princípio do Módulo do Máximo, que nos ajuda a determinar os pontos onde funções complexas alcançam seus maiores valores no módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio do Módulo do Máximo. Esse princípio diz que, se uma função analítica (como a função cosseno aqui) atinge seu valor máximo em módulo dentro de um domínio fechado, então esse máximo ocorre na fronteira desse domínio. Ou seja, para encontrar o máximo de no retângulo , precisamos olhar apenas nos lados do retângulo, não no interior.

Passo 3

Agora, vamos definir quais são as fronteiras do retângulo . O retângulo está definido sobre os intervalos:
  • Real:
  • Imaginário:
As fronteiras são, portanto:
  1. , com
  2. , com
  3. , com
  4. , com
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras para encontrar onde é máximo.

Passo 4

Primeiro, analisamos as fronteiras onde e . Para , a função se torna , que é real. O valor absoluto será simplesmente . Vamos encontrar o máximo de no intervalo .
Sabemos que varia entre -1 e 1, então varia entre 0 e 1. O máximo é 1, que ocorre em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a fronteira . Aqui, a função é . Para funções complexas, podemos usar a identidade:
Então, o módulo é:
Vamos buscar o máximo dessa expressão. Sabemos que e são constantes, então o máximo ocorre quando . Assim:
Esse valor é maior que 1, então já temos um candidato para o máximo.

Passo 6

Por último, vamos verificar as fronteiras verticais e .
  • Para :
No intervalo , é máximo em :
  • Para :
Aqui, o máximo também ocorre em :

Resposta

O ponto de máximo da função no retângulo ocorre em , onde .

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