Seja
definida sobre o retângulo
. Use o Princípio do Módulo do Máximo para determinar o ponto de máximo da função
(Sugestão: use o exercício acima).
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão! Temos a função
definida no retângulo
. Nosso objetivo é encontrar onde o valor absoluto dessa função, ou seja,
, atinge o máximo dentro desse retângulo. Para isso, vamos usar o Princípio do Módulo do Máximo, que nos ajuda a determinar os pontos onde funções complexas alcançam seus maiores valores no módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio do Módulo do Máximo. Esse princípio diz que, se uma função analítica (como a função cosseno aqui) atinge seu valor máximo em módulo dentro de um domínio fechado, então esse máximo ocorre na fronteira desse domínio. Ou seja, para encontrar o máximo de
no retângulo
, precisamos olhar apenas nos lados do retângulo, não no interior.
Passo 3
Agora, vamos definir quais são as fronteiras do retângulo
. O retângulo está definido sobre os intervalos:
- Real:
- Imaginário:
As fronteiras são, portanto:
-
, com -
, com -
, com -
, com
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras para encontrar onde
é máximo.
Passo 4
Primeiro, analisamos as fronteiras onde
e
. Para
, a função se torna
, que é real. O valor absoluto será simplesmente
. Vamos encontrar o máximo de
no intervalo
.
Sabemos que
varia entre -1 e 1, então
varia entre 0 e 1. O máximo é 1, que ocorre em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a fronteira
. Aqui, a função é
. Para funções complexas, podemos usar a identidade:
Então, o módulo é:
Vamos buscar o máximo dessa expressão. Sabemos que
e
são constantes, então o máximo ocorre quando
. Assim:
Esse valor é maior que 1, então já temos um candidato para o máximo.
Passo 6
Por último, vamos verificar as fronteiras verticais
e
.
- Para
:
No intervalo
,
é máximo em
:
- Para
:
Aqui, o máximo também ocorre em
:
Resposta
O ponto de máximo da função
no retângulo
ocorre em
, onde
.
Exercícios relacionados
Use a fórmula Integral de Cauchy para derivada para calcular a integral
onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.
Sendo
, senhy
, coshy
e
mostre que
.
Nos Exercícios de 1 a 6, aplique a Definição 16.4.1 para encontrar as derivadas parciais indicadas.
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15.
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