Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por z(t)=cos t+i sen t=e^i t, onde t in[0,2 pi]. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma circunferência unitária, ou seja, um círculo com raio 1, parametrizada por , onde integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) , dt = 2pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) , dt = 0 varia de 0 a . O objetivo é calcular duas integrais:
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito que usamos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função e . Para isso, vamos lembrar da série de Taylor para e^x = sumn=0^infty x^nn! :
e^cos t = sumn=0^infty (cos t)^nn!
Aplicando isso a :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar e^cos t cos(sen t) = sumn=0^infty (cos t)^nn! cos(sen t) por e :

Passo 4

Para integrar essas séries, consideramos que e são funções periódicas com período . Além disso, a integral de uma série infinita pode ser calculada termo a termo se a série for uniformemente convergente, o que é o caso aqui.

Passo 5

Vamos focar na integral . Substituindo a série, temos:

Passo 6

Para cada termo da série, a integral pode ser resolvida utilizando propriedades de simetria e periodicidade das funções trigonométricas. Devido à complexidade, sabemos que a contribuição principal será para 10! integral0^2 pi cos(sen t) , dt = integral0^2 pi cos(sen t) , dt = 2pi :
Os demais termos se cancelam devido à natureza periódica e simétrica das funções seno e cosseno.

Passo 7

Agora, vamos analisar a segunda integral . Seguindo um raciocínio similar:
Aqui, por simetria, todas as integrais resultam em zero, pois a função é ímpar em relação ao intervalo integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) , dt = sumn=0^infty 1n! integral0^2 pi (cos t)^n sen(sen t) , dt .

Resposta

Assim, concluímos que:

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