Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma circunferência unitária, ou seja, um círculo com raio 1, parametrizada por , onde
varia de 0 a
. O objetivo é calcular duas integrais:
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito que usamos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função e . Para isso, vamos lembrar da série de Taylor para
:
Aplicando isso a
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por e :
Passo 4
Para integrar essas séries, consideramos que e são funções periódicas com período
. Além disso, a integral de uma série infinita pode ser calculada termo a termo se a série for uniformemente convergente, o que é o caso aqui.
Passo 5
Vamos focar na integral . Substituindo a série, temos:
Passo 6
Para cada termo da série, a integral pode ser resolvida utilizando propriedades de simetria e periodicidade das funções trigonométricas. Devido à complexidade, sabemos que a contribuição principal será para
:
Os demais termos se cancelam devido à natureza periódica e simétrica das funções seno e cosseno.
Passo 7
Agora, vamos analisar a segunda integral . Seguindo um raciocínio similar:
Aqui, por simetria, todas as integrais resultam em zero, pois a função é ímpar em relação ao intervalo
.
Resposta
Assim, concluímos que:
Exercícios relacionados
- If
, ache (a) ; (b) .
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
15.
15.
Nos Exercícios 27 e 28, ache
e
.
28.
28.
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
23.
23.