Depois
Nos exercicios 13-24, desenhe um diagrama e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.
(15) partial wpartial u e partial wpartial v para w=l a(x, y, z), x=f(u, v), y=g(u, v),
v co z=k(u, v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que trata de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Basicamente, você precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde é uma função de , e , e cada uma dessas variáveis também depende de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
w = la(x, y, z)
Aqui, x = f(u, v) y = g(u, v) z = k(u, v) depende de , e , que por sua vez dependem de e :
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite calcular a derivada de uma função composta. No caso de várias variáveis, a derivada parcial de partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u + partial wpartial z cdot partial zpartial u em relação a partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial xpartial v + partial wpartial y cdot partial ypartial v + partial wpartial z cdot partial zpartial v será:
E de forma similar para :

Passo 4

Vamos identificar cada uma das derivadas necessárias:
  1. , , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.
  2. , , são as derivadas parciais de , e em relação a .
  3. Da mesma forma, , , são as derivadas parciais em relação a .

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia. Assim, as fórmulas finais para as derivadas parciais de partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial fpartial u + partial wpartial y cdot partial gpartial u + partial wpartial z cdot partial kpartial u serão:
partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial fpartial v + partial wpartial y cdot partial gpartial v + partial wpartial z cdot partial kpartial v

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial fpartial u + partial wpartial y cdot partial gpartial u + partial wpartial z cdot partial kpartial u
partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial fpartial v + partial wpartial y cdot partial gpartial v + partial wpartial z cdot partial kpartial v

Exercícios relacionados