Depois
Nos exercicios 13-24, desenhe um diagrama e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.
(15) para , co
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que trata de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Basicamente, você precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde é uma função de , e , e cada uma dessas variáveis também depende de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui, depende de , e , que por sua vez dependem de e :
Nosso objetivo é encontrar e .
Passo 3
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite calcular a derivada de uma função composta. No caso de várias variáveis, a derivada parcial de partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u + partial wpartial z cdot partial zpartial u em relação a partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial xpartial v + partial wpartial y cdot partial ypartial v + partial wpartial z cdot partial zpartial v será:
E de forma similar para :
Passo 4
Vamos identificar cada uma das derivadas necessárias:
, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.
, , são as derivadas parciais de , e em relação a .
Da mesma forma, , , são as derivadas parciais em relação a .
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia. Assim, as fórmulas finais para as derivadas parciais de partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial fpartial u + partial wpartial y cdot partial gpartial u + partial wpartial z cdot partial kpartial u serão:
partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial fpartial v + partial wpartial y cdot partial gpartial v + partial wpartial z cdot partial kpartial v
Resposta
As derivadas parciais são:
partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial fpartial u + partial wpartial y cdot partial gpartial u + partial wpartial z cdot partial kpartial u
partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial fpartial v + partial wpartial y cdot partial gpartial v + partial wpartial z cdot partial kpartial v