Uma longa folha de metal galvanizado de espessura w polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica com três lados planos para fazer uma calha.
A seção transversal é mostrada na figura.
  1. Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a maior área da seção transversal.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma folha longa de metal galvanizado com espessura polegadas. Essa folha vai ser dobrada para formar uma calha com três lados planos de forma simétrica. O objetivo é encontrar as dimensões que deixam a área da seção transversal da calha o maior possível, ou seja, maximizar a vazão.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização de áreas e como as dimensões da calha se relacionam com a quantidade de material disponível (a folha de metal com espessura ). Vamos usar matemática básica de funções e derivadas para encontrar as dimensões ótimas.

Passo 2

Primeiro, precisamos modelar a seção transversal da calha. Como a calha tem três lados planos de forma simétrica, podemos imaginar que ela tem uma base e duas laterais iguais. Vamos chamar a largura da base de e a altura de cada lateral de .

Passo 3

Agora, vamos expressar a área da seção transversal da calha. A área é dada por:
Queremos maximizar essa área.

Passo 4

Mas temos uma restrição: a quantidade de metal dispon��vel na folha. O perímetro da seção transversal que precisamos formar é a soma das três partes: a base e as duas laterais . Além disso, temos que considerar a espessura do metal .
Portanto, o perímetro total é:
Mas como a folha é longa, a quantidade de metal é proporcional ao perímetro. Para simplificar, vamos assumir que o perímetro disponível é uma constante . Então temos:

Passo 5

Vamos reescrever a equação do perímetro para isolar :
Agora, substituímos na equação da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Com o valor de , podemos encontrar :
Substituindo :

Passo 8

Então, as dimensões que maximizam a área da seção transversal são:

Resposta

As dimensões que proporcionam a maior área da seção transversal são:

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