Uma longa folha de metal galvanizado de espessura
polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica com três lados planos para fazer uma calha.
A seção transversal é mostrada na figura.
- Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a maior área da seção transversal.
A seção transversal é mostrada na figura.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma folha longa de metal galvanizado com espessura
polegadas. Essa folha vai ser dobrada para formar uma calha com três lados planos de forma simétrica. O objetivo é encontrar as dimensões que deixam a área da seção transversal da calha o maior possível, ou seja, maximizar a vazão.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre otimização de áreas e como as dimensões da calha se relacionam com a quantidade de material disponível (a folha de metal com espessura
). Vamos usar matemática básica de funções e derivadas para encontrar as dimensões ótimas.
Passo 2
Primeiro, precisamos modelar a seção transversal da calha. Como a calha tem três lados planos de forma simétrica, podemos imaginar que ela tem uma base e duas laterais iguais. Vamos chamar a largura da base de
e a altura de cada lateral de
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área da seção transversal da calha. A área
é dada por:
Queremos maximizar essa área.
Passo 4
Mas temos uma restrição: a quantidade de metal dispon��vel na folha. O perímetro da seção transversal que precisamos formar é a soma das três partes: a base
e as duas laterais
. Além disso, temos que considerar a espessura do metal
.
Portanto, o perímetro total
é:
Mas como a folha é longa, a quantidade de metal é proporcional ao perímetro. Para simplificar, vamos assumir que o perímetro disponível é uma constante
. Então temos:
Passo 5
Vamos reescrever a equação do perímetro para isolar
:
Agora, substituímos
na equação da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Com o valor de
, podemos encontrar
:
Substituindo
:
Passo 8
Então, as dimensões que maximizam a área da seção transversal são:
Resposta
As dimensões que proporcionam a maior área da seção transversal são: