Resolva em
as equações e inequações a seguir: (f)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no conjunto dos números reais,
. Estamos trabalhando com logaritmos, que são a operação inversa da exponenciação. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como transformar a equação logarítmica em uma equação exponencial e depois encontrar os valores de
que satisfazem a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter a equação logarítmica para a forma exponencial. A equação geral
é equivalente a
. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática:
. Vamos reorganizar para deixá-la igualada a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Onde, para nossa equação
, temos:
Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original. Em logaritmos, a base deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento do logaritmo também deve ser positivo.
Para
:
- Base
(válida, pois e ) - Argumento
(válido, pois )
Para
:
- Base
(inválida, pois a base do logaritmo deve ser positiva) - Argumento
(válido, mas a base inválida faz não ser uma solução válida)
Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
A solução da equação é
.