Resolva em
as equações e inequações a seguir: (f)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no conjunto dos números reais,
. Estamos trabalhando com logaritmos, que são a operação inversa da exponenciação. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como transformar a equação logarítmica em uma equação exponencial e depois encontrar os valores de
que satisfazem a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter a equação logarítmica para a forma exponencial. A equação geral
é equivalente a
. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática:
. Vamos reorganizar para deixá-la igualada a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Onde, para nossa equação
, temos:
Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original. Em logaritmos, a base deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento do logaritmo também deve ser positivo.
Para
:
- Base
(válida, pois e ) - Argumento
(válido, pois )
Para
:
- Base
(inválida, pois a base do logaritmo deve ser positiva) - Argumento
(válido, mas a base inválida faz não ser uma solução válida)
Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
A solução da equação é
.
Exercícios relacionados
Depois
Nos exercicios 13-24, desenhe um diagrama e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.
(15) para
,
co
Nos exercicios 13-24, desenhe um diagrama e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.
(15)
<html><head></head><body><div>Uma longa folha de metal galvanizado de espessura <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.62ex” height=“1.027ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -443 716 454”><title>w</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica com três lados planos para fazer uma calha.<br>
A seção transversal é mostrada na figura.</div>
<ol>
<li>Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a maior área da seção transversal.</li>
</ol>
</body></html>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.62ex” height=“1.027ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -443 716 454”><title>w</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica com três lados planos para fazer uma calha.<br>
A seção transversal é mostrada na figura.</div>
<ol>
<li>Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a maior área da seção transversal.</li>
</ol>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Verifique se cada passo na solução das inequações a seguir está correto: (a) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.912ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“38.806ex” height=“2.878ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -868.9 17152.4 1271.9”><title>(5x + 3)/(2x + 1) > 2 <=> 5x + 3 > 4x + 2 <=> x > -1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(220,398) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 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201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 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