Resolva em R as equações e inequações a seguir: (f) log_x(x + 6) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no conjunto dos números reais, R. Estamos trabalhando com logaritmos, que são a operação inversa da exponenciação. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como transformar a equação logarítmica em uma equação exponencial e depois encontrar os valores de x que satisfazem a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter a equação logarítmica para a forma exponencial. A equação geral é equivalente a . Aplicando isso à nossa equação:

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática: . Vamos reorganizar para deixá-la igualada a zero:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Onde, para nossa equação , temos:
Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original. Em logaritmos, a base deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento do logaritmo também deve ser positivo.
Para :
  • Base (válida, pois e )
  • Argumento (válido, pois )
Para :
  • Base (inválida, pois a base do logaritmo deve ser positiva)
  • Argumento (válido, mas a base inválida faz não ser uma solução válida)
Portanto, a única solução válida é .

Resposta

A solução da equação é .

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