Dos exercícios 9 a 13 calcule o valor do limite no infinito (tanto -infinito como +infinito ):
f(x) = (x^2 + 19) / (2*x^2 - raiz(raiz(x^4 + 3)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da função quando tende a e a . Esse tipo de problema está relacionado ao conteúdo de limites no estudo de funções, especialmente focando em como os termos de maior grau influenciam o comportamento da função quando cresce bastante ou fica muito negativo. Vamos precisar entender como simplificar expressões complicadas e identificar quais partes da função têm maior impacto nesse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando tende a . Olhando a função , percebemos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são e respectivamente. Isso geralmente determina o comportamento da função no infinito.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . Sabemos que para valores grandes de , domina sobre o 3, então se aproxima de , que é . Como estamos considerando tendendo a , .

Passo 4

Substituindo essa simplificação na função, temos:
Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por para facilitar a análise:
Quando tende a , os termos e tendem a zero, então:

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso em que tende a . A análise é similar, mas precisamos lembrar que . Como está tendendo a , .

Passo 6

Substituindo essa simplificação na função para negativo, temos:
Novamente, dividimos numerador e denominador por :
Quando tende a , os termos e também tendem a zero, então:

Resposta

O limite da função quando tende a e a é .

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